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13. UFD Domain의 원소중에서, Unit도 아니고 Zero도 아니면서, Nonunit으로 decompose되지 않는 얘를 irreducible이라고 한다. $$ab=c \implies a\in A^\ast \textrm{ or }b\in A^\ast$$ 또한 두 원소가 upto unit으로 동일하다면, 그 두 원소를 Associated라고 한다. Proposition Prime element is irreducible. Further, In UFD, Irreducible element is prime. 그리고 주어진 원소에 대해 Factorization into irreducibles라는 개념을 생각할 수 있다. 이 방법이 upto associate & permutation 유일하면 Domain을 UFD 라고.. 공감수 0 댓글수 0 2024. 4. 23.
12. Prime and Maximal Ideals 간단한 정리 $$Sub(M/N)\cong Sub_N(M)$$ 을 Recall하자. maximal ideal CRing에서 maximal ideal $\mathfrak m$이라 함은 $\mathfrak m$이 $Ideal(A)=Sub(A)$에서 $A$를 제외하고 maximal이라는 뜻이다. 동치조건으로 다음이 있다. $$A/\mathfrak m \neq 0, Ideal(A/\mathfrak m) = (A/\mathfrak m, (0))$$ $$A/\mathfrak m \textrm{ is a field.}$$ Prime ideal CRing의 proper ideal $\mathfrak p\lneq A$에 대하여 다음 3가지가 동치이다 $$xy\in \mathfrak p \implies x\in \mathf.. 공감수 0 댓글수 0 2024. 4. 23.
11. Algebra $A$-algebra는 $A$ action이 정의되는 ring이다. Free algebra (= polynomial algebra)를 정의하기 위해 Monoid, Module 등등을 이용해 정의할 수 있다. $$\{X_1,X_2\}\mapsto \textrm{CMon}\langle X_1,X_2\rangle \mapsto A \textrm{Mod}\langle X_1,X_2\rangle \mapsto A[X_1,X_2]$$ 즉, Monoid로 Free Module을 만들고 이를 자연스럽게 Algebra로 확장하면 된다. Group Algebra $A[G]$: $G$를 monoid로 보고 $A$ 곱을 정의한다. 예시는 아니고 비슷한 거: $L^1(\mathbb R)$은 convolution product .. 공감수 0 댓글수 0 2024. 4. 22.
10. Ring과 Module의 기본적인 성질들 Ring은 덧셈(abelian group)과 곱셈(monoid)이 둘다 정의되어 있어서, 둘이 잘 어울리면 (distribution law) Ring이라 한다. 이번에 대수학1 과제를 하다가, $End_{\underline{Set}}(\mathbb Z)$가 Ring이라는 어이없는(...) 가정을 하고 풀다가 점수가 많이 깎였는데, 얘는 덧셈도 있고 곱셈도 잘 정의되지만 두 연산이 잘 어울리지 않아 Ring이 아니다. 덧셈 정의됐고 곱셈 정의 됐으니 ring이다!라고 막연하게 생각해서 망했다.. 아무튼 Ring morphism도 정의할 수 있고 Cring도 정의할 수 있고, $\mathbb Z$는 initial object가 됨을 확인할 수 있다. 또 prod, fiber product, limit 등이 .. 공감수 0 댓글수 0 2024. 4. 22.
9. More on Category Theory Hom functor $$A\to B$$가 있을 때, $$A'\overset{\phi}\to A$$ 혹은 $$B\overset{\psi}\to B'$$ 를 통해 $$A'\to A\to B\to B'$$ 를 생각할 수 있다. 이건 Functor로 이해될 수 있고, Left exact하다. Inverse limit 다음 filterated system $$\cdots \to G_1 \to G_2 \to G_3 \to G_4\to \cdots$$ 에서 ''최초의 원인'' 을 $\underset\leftarrow\lim G_i$라 하고 Limit=Inverse Limit=Projective Limit이라 한다. 이 때 $$Hom(H, \underset\leftarrow\lim G_i)\cong \underset.. 공감수 0 댓글수 0 2024. 4. 22.
8. Additional Topics (...) Dual Group 아벨군 $\mathbb {Z, Q}$에 대하여 $\mathbb Q/\mathbb Z$는 Abelian Torsion group이다. 이 때 $$\mathbb Q/\mathbb Z[m]=\frac{1}{m}\mathbb Z/\mathbb Z$$ 이다. 여기에 아이디어를 착안하여 (?) $\underline{Ab}_m$: $A[m]=A$인 Abelian group들. 이 때 $(-)_m$은 functor로서 이해될 수 있다. $A\in \underline{Ab}_m$의 dual group을 $A^\wedge:=Hom_{\underline{Ab}}(A,\frac{1}{m}\mathbb Z/\mathbb Z)\in \underline{Ab}_m$으로 정의한다. 또한, $A\overset{\p.. 공감수 0 댓글수 0 2024. 4. 22.
7. 유한생성 가환군의 기본정리 Abelian group의 Family $\{A_\alpha\}_\alpha$에 대하여 Direct Sum을 정의할 수 있다. $$\bigoplus A_\alpha$$ 얘는 inclusion과 함께 존재하는 Universal한 Object이다. 만일 $A_\alpha\leq A$이면, $\bigoplus A_\alpha \to A$가 정의된다. 특히 이 morphism이 isomorphic할 경우는 $A=A_1+A_2, A_1\cap A_2 = 0$일 경우이다. Abelian Group은 $\mathbb Z$ module이기도 하다. 그러므로 Free abelian group을 Free $\mathbb Z$ module로 둘 수 있다. Free Group $S \hookrightarrow \mathbb .. 공감수 0 댓글수 0 2024. 4. 22.
6. Symmetric Groups 1. Cycle들은 유일하게 cycle decomposition이 된다. 2. 따라서 cycle type이 정해진다. 3. $S_n$은 transposition들로 생성된다. 4. Sign을 잘 정의할 수 있다: $S_n$이 $Hom(\mathbb Z^n, \mathbb Z)$에 act하는데, ($(\sigma\cdot f)(x)= f(\sigma^*(x))$) 특히 $\Delta(x_1,\cdots,x_n)=\prod_{i 공감수 0 댓글수 0 2024. 4. 22.
5. Sylow Theorem $G$의 exponent를 $$exp(G):=lcm \{|x|:x\in G\}$$ 로 정의한다. 이 때 다음 lemma가 성립한다. Lemma $G$가 finite abelian이면, $$|G| | exp(G)^a$$ for some $a\in \mathbb N$. 증명은 $|G|$에 대한 Induction을 사용한다. $|G|=|G/\langle x\rangle|\cdot |x|$을 이용하면 증명할 수 있다. Corollary 만약 $G$가 finite abelian이고 $p||G|$이면, Order $p$인 subgroup이 존재한다. 증명은 $p\;|\;\left|G\right|\;|\;exp(G)^a$에서 $p\mid\;|x|$ for some $x\in G$임으로부터 나온다. Group의 ord.. 공감수 0 댓글수 0 2024. 4. 22.
4. Group Action $\mathcal O_G(x)=Gx$ $G_x\leq G$ $Fix_G(X)=X^G=\{x\in X| Gx=x\}$ Group action의 예시: 1. G의 Left Coset에 Left Mult로 act. 2.Conjugate Action: $G$에도, $Sub(G)$에도 act한다. 이 때 $^gH=gHg^{-1}$같은 표현법을 사용한다. Orbit을 만드는 것은 Partition을 만드는 일이다. 또 Group의 성질까지 생각하면 다음 Theorem을 얻는다. Orbit-stabilizer Thm $$X=\amalg Gx \simeq \amalg G/G_x$$ $$|X|=\sum(G:G_x)$$ 특히 따름정리로는, $G$가 $G$에 conjugate로 act하는 상황에서 Class Formula .. 공감수 0 댓글수 0 2024. 4. 22.
3. Group에 대한 기본적인 성질들 1. Direct product에 대한 Isomorphism $H,K\leq G$이고, $hk=kh, H\cap K= e, HK=G$이면 $$H\times K=G$$ 이다. 2. Normal Subgroup에 대한 Universal Property $\phi: G\to G'$이 $N\leq G$를 $e'$으로 보내면, $\phi$는 $G/N$을 factor한다. 3. 2nd isomorphism theorem과 Zassenhaus lemma. (Tikz를 못쓰는게 천추의 한) 4. Tower of groups $\mathbb Q$는 cyclic tower를 가지지 않는 abelian group이다. 5. Feit-Thompson Theorem. Order가 홀수인 유한군은 Solvable하다. 6. Co.. 공감수 0 댓글수 0 2024. 4. 22.
2. 군 어떤 집합 $X$ 에 이항연산이 주어졌다는 것은 어떤 함수 $$X\times X\to X$$ 가 주어졌다 (명시되었다)는 것을 의미한다. 예를 들어 $+, \times$ 등이 이항연산에 해당한다. 이 이항연산이 어떤 성질을 가지느냐에 따라 Magma, Semigroup, Monoid, Group이 된다. Magma는 이항연산이 주어진 집합을 지칭한다. 즉 $(X, \cdot)$을 마그마라고 한다. Semigroup은 이항연산이 Associative인 Magma이다. 즉, $$X\times X\times X\to X$$ $$(x,y,z)\mapsto x\cdot y\cdot z$$ 를 잘 정의할 수 있다면 $(X,\cdot)$을 Semigroup이라고 부른다. Monoid는 identity가 있는 Semi.. 공감수 0 댓글수 0 2024. 4. 16.
1. 카테고리 Category는 Object, Morphism으로 이루어진 수학자들의 낙원이다. (플라톤의 이데아) $1_X:X\to X$는 항상 존재해야 하는데, 이를 이용하면 두 Object가 isomorphic한지 아닌지를 정의할 수 있다. 카테고리의 예시로는 다음이 있다. $$Set, Top, Grp, Field_p, Rng, \cdots$$ 굳이 이데아에서만 카테고리를 찾을 이유는 없다. Set $A$가 주어졌을 때, inclusion을 morphism으로 하는 category를 만들 수 있다. (그리고 이건 굉장히 유용하다.) 카테고리가 유용한 이유는 나중에 이어서... 공감수 0 댓글수 0 2024. 4. 16.

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