선형대수학이란 벡터공간에 대한 공부이다.
첫 번째 주제는 유한차원벡터공간과 선형사상의 기본적인 성질이다. Rank Theorem을 배우는 것이 목표.
두 번째 주제는 [선대군]에서 가장 어려운 파트인데, $T\in Aut(V)$가 $V$에 act하는 상황에서 $V$를 어떤 식으로 표현할 수 있을지를 다루는 부분이다. 지금 생각하면 Fundamental Theorem of Finitely Generated Module over P.I.D라는 굉장히 강하고 어려운 정리를 알게 모르게 증명하면서 사용하는데, 당연히 어려울 수 밖에 없다. $V$를 $T$에 따라 decompose하면 Jordan canonical form을 얻는다.
세 번째 주제는 $V$에 내적 구조를 줄 때 나타나는 성질을 공부하는 것이다. 이러면 거리를 정의할 수 있고 따라서 '기하학'이라는 걸 할 수 있다. 선대군에서는 알게 모르게 '군' 개념까지 알뜰살뜰하게 끼워넣으니, 두번째 주제만큼은 아니더라도 꽤 어렵다.
해석개론을 처음 맞닥뜨렸을 때는 엄청 어려워보이고 난해해보였지만, 시간이 지나며 수학의 언어에 익숙해질수록 쉬워졌다. 그러나 선형대수학은 이와 정반대이다. 처음엔 쉬워보이고 직관적으로 보이고 (비록 두 번째 주제는 미친듯이 어렵지만) 이리저리 하다보면 쉽게 수긍할 수 있지만, 시간이 지날수록 심오한 정리들이 숨어있다는 것을 알게 되니, 다시 복습할 만한 가치가 충분하다.