대학원 과정/해석학 (5) 썸네일형 리스트형 3.3 미분의 적분 여기서는 [a,b]→R만 고려한다. 먼저 Bounded Variation인 function BV function을 탐구한다. BV function의 정의는 T(a,x)3.3의주요내용은다음과같다.먼저BVfunction의기본적인성질은다음과같다.BVfunction은increasingboundedfunction의차이다.Increasingboundedfunction은a.e.관점에서미분가능하다.그러므로BVfunction은a.e.미분가능하다.만약BVfunction이Continuous일때는,\int_a^x F'(x)dx\leq F(b)-F(a)등식이성립하지않는예시가존재한다.(칸토어르벡함수)등식이성립iffF$가 Absol.. 2. Integration Theory 1. 적분의 정의 적분을 4가지 Step으로 정의한다. 1. Simple function ∫∑akχEk=∑akm(Ek) 2. Bounded function with finite measure support ∫f=limn→∞∫ϕn(x)dx 3. Nonnegative function ∫fdx=supg∫g(x)dx(0≤g≤f, g bounded & supp on finite measure ) 4. General ∫fdx=∫f+dx−∫f−dx (5. Complex valued) $$\int u+iv = \int u +i\.. 3.2 Kernel과 Approximate Identity 이전 글에서 보였던 Averaging Function은 Convolution과 비슷하다. ∫B(x)f(y)dy=∫f(y)χB(x)(y)dy=∫f(y)χB(0)(x−y)dy=(f∗χB(0))(x) 여기서 Motivation을 얻어, 다음 Convolution의 성질을 특히 Kernel과 관련지어서 알아보자.(f∗Kδ)(x)=∫f(x−y)Kδ(y)dy 위에서 Kernel이라 불리는 함수모임 {Kδ:δ>0}은 맥락에 따라 다르지만, 핵심적으로 다음을 만족시키는 함수모임이다. $$f\ast K_\delta .. 3. 1 적분의 미분 보통 고등학교 때 배우는 미적분학에서는 적분과 미분이 서로의 역연산임을 다룬다. 이를 다변수 르벡적분의 관점에서다시 서술할 수 있을까? 먼저, 적분하고 미분하는 연산을 다음과 같은 의미로 받아들이자. x↦limm(B)→01m(B)∫Bf(x−y)dy 위 함수가 f랑 동일할까? Lebesgue Differentiation Theorem은 적분가능한 함수 f에 대해 a.e. 관점에서 두 함수가 동일함을 알려준다. (사실 위 연산을 Averaging 이라고도 볼 수 있다.) 앞의 문제를 탐구하기 위해 다음 Hardy-Littlewood Maximal funtion$$f^\ast(x)=\sup_{B}\frac{1}{B}\int_B|f(x-y)|dy.. 1. Measure Theory Stein Real Analysis의 내용 1장을 요약한다.1. 외측도 m∗를 다음과 같이 정의한다. m∗(E)=inf∞∑|Qj| 여기서 Qj들은 E의 closed rectangular cover이고 |Q|는 그 넓이. 외측도의 성질은 다음과 같다. E1⊂E2⟹m∗(E1)≤m∗(E2) m∗(∞⋃Ei)≤∞∑m∗(Ei) m∗(E)=infE⊂Om∗(O) 아래는 특정 조건에서 Additivity가 성립함을 보여준다. $$d.. 이전 1 다음