2. Integration Theory

1. 적분의 정의 

적분을 4가지 Step으로 정의한다.

 

1. Simple function

 

$$\int \sum a_k\chi_{E_k} = \sum a_km(E_k)$$

 

2. Bounded function with finite measure support

 

$$\int f = \lim_{n\to\infty}\int\phi_n(x)dx$$

 

3. Nonnegative function

 

$$\int f dx = \sup_g\int g(x)dx$$

($0\leq g\leq f$, $g$ bounded & supp on finite measure )

 

4. General

 

$$\int f dx = \int f^+dx - \int f^-dx$$

 

(5. Complex valued)

 

$$\int u+iv = \int u +i\int v$$

---

기본적인 성질들:

Linearity

 

$$\int af+g =a\int f+\int g$$

 

Additivity

 

$$\int_{A\sqcup B}f=\int_Af+\int_Bf$$

 

Monotonicity

 

If $f\leq g$, then

$$\int f\leq \int g$$

 

Triangle Inequality

 

$$\left|\int f\right|\leq\int|f|$$

 

''Vanishing'' outside bounded region

 

For every $\epsilon>0$, there exists a Large Ball $B$ such that 

$$\int_{B^c}|f|<\epsilon.$$

 

Absolute continuity

 

For every $\epsilon>0$, there exists $\delta>0$ such that for any $E: m(E)<\delta$,

$$\int_E |f| <\epsilon.$$ 

 

---

수렴정리들

에고로프 정리 Recall하고 읽자.

 

Bounded on finite measure

$f$가 bounded이고 finite measure에서만 support 되어있다면

$$\int \lim f_n = \lim \int f_n$$

 

Fatou

$f_n\geq 0$이라 할 때, 

$$\int\liminf f_n \leq \liminf \int f_n$$

 

단조수렴정리

$0\leq f_n\nearrow f$이면

$$\int \lim f_n = \lim \int f_n$$

 

한편 다음 버젼의 단조수렴정리도 유용하다.

 

$a_k(x)\geq 0$에 대하여

$$\int \sum a_k(x)dx = \sum \int a_k(x)dx$$

 

지배수렴정리

이건 Bdd on finite measure를 일반화 한거다. $\limsup |f_n(x)|\in L^1$이면

$$\lim \int f_n = \int \lim f_n$$

 

---

 

리만적분과의 관계

똑같다! 사실 리만적분은 Bdd on Finite Measure인 함수에서만 생각하기 때문에, Bdd on finite 수렴정리를 사용할 수 있다.  

---

2. 노음공간 L1

이제 $L^1$에 노음을 다음과 같이 정의할 수 있다.

 

L1 Norm

$$\Vert f\Vert_1 := \int |f|$$

 

그러면 다음이 성립한다.

Riesz-Fischer Theorem:  $L^1$ is complete.

 

이제 함수열의 수렴을 다양한 방식으로 말할 수 있다. 지금까지 배운건:

1. $f_n \to f$ in $L^1$ norm.
2. $f_n \to f$ pointwisely.
3. $f_n \to f$ in $\sup$ norm.

연습문제 중엔 converge in measure (probability)도 있다.

 

이들의 관계 중 하나는:

$f_n\to f$ in $L^1$ norm $\implies$ $f_{n_k}\to f$ a.e. $x$.

 

한편, $L^1(\mathbb R^d)$의 Dense subset으로는 다음이 있다:

 

(1) simple ftns

(2) step ftns

(3) $\mathcal C^0_{c}$

---

함수에 Act하는 것들이 꽤 많다. 그 중에 많이 나오는 것은 Translation과 Dilation 그리고 Reflection. 얘들은 적분을 적당히 잘 보존한다. 뿐만 아니라, $L^1$은 함수의 translation과 dilation에 대해 적당한 의미에서 연속. 그러니까, translation만 예를 들면,

 

$$\mathbb R\to L^1\to\mathbb R$$

$$h\mapsto f-f_h\mapsto \Vert f-f_h \Vert$$

가 $h\to 0$일 때 0으로 수렴.

 

핵심은 Cpt support와 continuity를 이용.

---

3. 푸비니 정리

여기 좀 뇌절인데; 암튼 조건이 잘 만족되면 다중적분=반복적분 이란 뜻.

 

Fubini's Theorem

$(x,y)\mapsto f(x,y)$가 적분가능하면, a.e. $y$에 대하여 

1. $x\mapsto f(x,y)$는 적분가능.
2. $y\mapsto \int f(x,y)dx$는 적분가능.
3. $\iint f(x,y)dxdy = \int f$가 성립

이거 증명은 5페이지나 되니까 나중에 여유있을 때에나 읽어보자.

 

---

또, 푸비니 정리를 Nonnegative measurable 함수에 대하여 extended sense에서 (적분값에 무한 포함) 설명할 수도 있다.

이를 토넬리 정리라고 한다.

이 때 $\chi_E$를 대입하면, subset의 slice에 대한 measurability 정리 역시 얻을 수 있다. 즉, 다음을 얻는다.

 

$$E\in \mathfrak M( \mathbb R^{d_1}\times \mathbb R^{d_2}) \implies E^y\in \mathfrak(\mathbb R^{d_1}) \textrm{ for a.e. $y\in \mathbb R^{d_2}$} $$

 

근데 이거 역은 성립하지 않는다. 예컨대 $[0,1]\times \mathcal N$은 non measurable(why?)이지만 얘의 $y$ slice $[0,1]$ or $\emptyset$은 measurable이다. 또 Well Ordering Principle을 이용해서 뭔 이상한 반례도 만들 수 있다 하니 pp.82~83 참고.

 

Product Sets

이제 $E$가 product set이라고 해보자.

$E_1\times E_2$가 Measurable이면, $E_1$은 Measurable인가? 이건 아닐텐데, 왜냐하면 $E_2$가 $\{\ast\}$이면 $E_1$과 무관하게 Product set의 measurability가 Yes로 고정된다. 요컨대 $m(E_2)=0$이면 그리 된다는 뜻.

 

그러니까, $m_\ast(E_2)>0$이라고 가정하고 같은 질문에 답해보도록 해보자. 이 때는 $E_1$이 Measurable이라는 결론을 내릴 수 있다.

 

역에 대한 질문을 해보자. $E_1, E_2$가 Measurable이면 $E_1\times E_2$도 Measurable인가?

Yes, 그리고 그 Measure 값도 각각 메져의 곱이다.

 

Convolution Product

 

합성곱을 정의하기 위해.. 다음을 확인만 하자.

 

$f(x-y)$ is measurable on $(x,y)$ if $f$ is measurable.