3.3 미분의 적분

 

 

여기서는 $[a,b]\to \mathbb{R}$만 고려한다.

 

먼저 Bounded Variation인 function BV function을 탐구한다. BV function의 정의는 $T(a,x)<\mathrm{\infty }$ for all $x$. 여기서 $T$는 Total Variation이고 Positive Variation과 Negative Variation을 이용해 $T(a,x)=P(a,x)+N(a,x),F(x)-F(a)=P(a,x)-N(a,x)$라 할 수 있다.

 

3.3의 주요 내용은 다음과 같다. 먼저 BV function의 기본적인 성질은 다음과 같다.

• BV function은 increasing bounded function의 차이다.
• Increasing bounded function은 a.e. 관점에서 미분가능하다.
• 그러므로 BV function은 a.e. 미분가능하다.

만약 BV function이 Continuous일때는,

• ${\int }_a^x{F}^{\prime }(x)dx\le F(b)-F(a)$
• 등식이 성립하지 않는 예시가 존재한다. (칸토어 르벡 함수)
• 등식이 성립 iff $F$가 Absolutely continuous.

BV function에서 Jump function을 빼면 Continuous로 만들 수 있다.

• a.e. 관점에서 $J^{\prime }=0$로 존재한다. 

사실 Exercise 24가 굉장히 중요한 내용인데, 나중에 측도의 형태로 다시 나올 것 같다.