3.2 Kernel과 Approximate Identity

 

이전 글에서 보였던 Averaging Function은 Convolution과 비슷하다.

 

$$\begin{align*}\int_{B(x)} f(y)dy&=\int f(y)\chi_{B(x)}(y)dy\\&=\int f(y)\chi_{B(0)}(x-y)dy\\&=(f\ast \chi_{B(0)})(x)\end{align*}$$

 

여기서 Motivation을 얻어, 다음 Convolution의 성질을 특히 Kernel과 관련지어서 알아보자.

$$(f\ast K_\delta)(x)=\int f(x-y)K_\delta(y)dy$$

 

위에서 Kernel이라 불리는 함수모임 $\{K_\delta: \delta >0\}$은 맥락에 따라 다르지만, 핵심적으로 다음을 만족시키는 함수모임이다. 

 

$$f\ast K_\delta \to f$$

(물론 여러가지 sense에서..)

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만일 $f$가 bounded continuous이면 다음이 Kernel의 조건이 된다.

 

$$\int K_\delta(x)dx=1$$

$$\int|K_\delta(x)|dx \leq A$$

$$\int_{|x|\geq\eta}|K_\delta(x)|dx\to 0, \;\forall \eta>0$$

 

그런데 지금, $f$가 일반적인 integrable function이라 할 때 위 조건만으로는 Kernel이라 할 수 없고, 더 강한 다음 조건 아래 Kernel이라 할 수 있다. 대표적으로 Poisson kernel이나 Heat kernel, 혹은 Fejer kernel이 있다.

 

$$\int K_\delta(x)dx=1$$

$$\int|K_\delta(x)|dx \leq A\delta^{-d}$$

$$\int|K_\delta(x)|dx \leq \frac{A\delta}{|x|^{d+1}}$$

 

위 3개 조건을 만족하는 Kernel $\{K_\delta\}$와 Integrable function $f$에 대하여, 실제로 다음이 성립하는지 확인하자.

$$(f\ast K_\delta)(x)\to f(x)$$

 

증명.

Lemma(2.2)

$f$가 적분가능하고 $x\in \mathbb R^d$가 $f$의 Lesbegue set의 고정된 점일 때, 양의 실수 $r$에 대한 다음 함수

$$\mathcal A(r)=\frac{1}{r^d}\int_{|y|\leq r}|f(x-y)-f(x)|dy$$

는 다음 성질을 갖는다.

(1) 연속.

(2) 유계.

(3) $\lim_{r\to 0}\mathcal A(r)=0$.

 

Proof : (1)은 자명. (3)은 $x$가 Lebesgue Set의 원소이므로 ($\leftrightarrow$ $x_0$의 근방에서 $f$의 적분이 상수함수 $f(x_0)$의 적분과 근사함) 자명. (2)는 $r>1$일 때 $f$의 integrablity를 이용하면 자명.

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Proof

$$\begin{align*} |(f\ast K_\delta)(x)- f(x)| &\leq \int|f(x-y)-f(x)||K_\delta(y)|dy\\  &=\left(\int_{|y|\leq \delta}+\sum^\infty\int_{2^k\delta<|y|\leq 2^{k+1}\delta}\right)(|f(x-y)-f(x)||K_\delta(y)|)dy\\   &\leq c\mathcal A(\delta)+c'\sum^\infty 2^{-k}\mathcal A(2^{k+1}\delta) \end{align*}$$

 

마지막 부등호는 다음 두 식에서 나온다.

$$\begin{align*} \int_{|y|\leq \delta} |f(x-y)-f(x)||K_\delta(y)|dy &\leq \frac{A}{\delta^d}\int_{|y|\leq \delta}|f(x-y)-f(x)|dy \\ &=A\cdot\mathcal A(\delta)\end{align*}$$

 

$$\begin{align*}\int_{2^k\delta<|y|\leq 2^{k+1}\delta} |f(x-y)-f(x)||K_\delta(y)|dy &\leq\int_{|y|\leq 2^{k+1}\delta} |f(x-y)-f(x)||K_\delta(y)|dy \\ &\leq \frac{A\delta}{(2^k\delta)^{d+1}}\int_{|y|\leq 2^{k+1}\delta} |f(x-y)-f(x)|dy \\ &\leq \frac{A}{2^k(2^{k+1}\delta)^{d}}\int_{|y|\leq 2^{k+1}\delta} |f(x-y)-f(x)|dy \\ &\leq \frac{A}{2^k}\mathcal A(2^{k+1}\delta)\end{align*}$$

 

전자 $c\mathcal A(\delta)$는 $\delta \to 0$일 때 $0$으로 가고, 후자의 경우는 조금 더 subtle한데, $N$을 충분히 크게 잡아 꼬리부분은 $\mathcal A$의 유계성을 이용해 $\epsilon$ 미만으로 만들고, 머리부분의 $N$개 sum은 $\delta$를 충분히 작게 잡아서 다시 $\epsilon$ 미만으로 만들면 된다. $\square$

이 때, $f\ast K_\delta$ 역시 적분가능하다. 또 $f$로 a.e. pointwise 수렴할 뿐 아니라 $L^1$ norm sense에서도 수렴한다. 즉, 

$$\Vert(f\ast K_\delta)-f\Vert_1\to 0$$

 

이것이 3.2의 핵심 정리이다.