3.2 Kernel과 Approximate Identity

 

이전 글에서 보였던 Averaging Function은 Convolution과 비슷하다.

 

$$\begin{array}{rl}{\int }_{B(x)}f(y)dy& =\int f(y){\chi }_{B(x)}(y)dy\\ & =\int f(y){\chi }_{B(0)}(x-y)dy\\ & =(f\ast {\chi }_{B(0)})(x)\end{array}$$

 

여기서 Motivation을 얻어, 다음 Convolution의 성질을 특히 Kernel과 관련지어서 알아보자.

$$(f\ast K_{\delta })(x)=\int f(x-y)K_{\delta }(y)dy$$

 

위에서 Kernel이라 불리는 함수모임 $\{K_{\delta }:\delta >0\}$은 맥락에 따라 다르지만, 핵심적으로 다음을 만족시키는 함수모임이다. 

 

$$f\ast K_{\delta }\to f$$

(물론 여러가지 sense에서..)

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만일 $f$가 bounded continuous이면 다음이 Kernel의 조건이 된다.

 

$$\int K_{\delta }(x)dx=1$$

$$\int |K_{\delta }(x)|dx\le A$$

$${\int }_{|x|\ge \eta }|K_{\delta }(x)|dx\to 0,\mathrm{\forall }\eta >0$$

 

그런데 지금, $f$가 일반적인 integrable function이라 할 때 위 조건만으로는 Kernel이라 할 수 없고, 더 강한 다음 조건 아래 Kernel이라 할 수 있다. 대표적으로 Poisson kernel이나 Heat kernel, 혹은 Fejer kernel이 있다.

 

$$\int K_{\delta }(x)dx=1$$

$$\int |K_{\delta }(x)|dx\le A{\delta }^{-d}$$

$$\int |K_{\delta }(x)|dx\le \frac{A\delta }{|x{|}^{d+1}}$$

 

위 3개 조건을 만족하는 Kernel $\{K_{\delta }\}$와 Integrable function $f$에 대하여, 실제로 다음이 성립하는지 확인하자.

$$(f\ast K_{\delta })(x)\to f(x)$$

 

증명.

Lemma(2.2)

$f$가 적분가능하고 $x\in {\mathbb{R}}^d$가 $f$의 Lesbegue set의 고정된 점일 때, 양의 실수 $r$에 대한 다음 함수

$$\mathcal{A}(r)=\frac{1}{r^d}{\int }_{|y|\le r}|f(x-y)-f(x)|dy$$

는 다음 성질을 갖는다.

(1) 연속.

(2) 유계.

(3) $\underset{r\to 0}{lim}\mathcal{A}(r)=0$.

 

Proof : (1)은 자명. (3)은 $x$가 Lebesgue Set의 원소이므로 ($\leftrightarrow$ $x_0$의 근방에서 $f$의 적분이 상수함수 $f(x_0)$의 적분과 근사함) 자명. (2)는 $r>1$일 때 $f$의 integrablity를 이용하면 자명.

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Proof

$$\begin{array}{rl}|(f\ast K_{\delta })(x)-f(x)|& \le \int |f(x-y)-f(x)||K_{\delta }(y)|dy\\ & =({\int }_{|y|\le \delta }+\sum ^{\mathrm{\infty }}{\int }_{2^k\delta <|y|\le 2^{k+1}\delta })(|f(x-y)-f(x)||K_{\delta }(y)|)dy\\ & \le c\mathcal{A}(\delta )+c^{\prime }\sum ^{\mathrm{\infty }}{2}^{-k}\mathcal{A}(2^{k+1}\delta )\end{array}$$

 

마지막 부등호는 다음 두 식에서 나온다.

$$\begin{array}{rl}{\int }_{|y|\le \delta }|f(x-y)-f(x)||K_{\delta }(y)|dy& \le \frac{A}{{\delta }^d}{\int }_{|y|\le \delta }|f(x-y)-f(x)|dy\\ & =A\cdot \mathcal{A}(\delta )\end{array}$$

 

$$\begin{array}{rl}{\int }_{2^k\delta <|y|\le 2^{k+1}\delta }|f(x-y)-f(x)||K_{\delta }(y)|dy& \le {\int }_{|y|\le 2^{k+1}\delta }|f(x-y)-f(x)||K_{\delta }(y)|dy\\ & \le \frac{A\delta }{(2^k\delta {)}^{d+1}}{\int }_{|y|\le 2^{k+1}\delta }|f(x-y)-f(x)|dy\\ & \le \frac{A}{2^k(2^{k+1}\delta {)}^d}{\int }_{|y|\le 2^{k+1}\delta }|f(x-y)-f(x)|dy\\ & \le \frac{A}{2^k}\mathcal{A}(2^{k+1}\delta )\end{array}$$

 

전자 $c\mathcal{A}(\delta )$는 $\delta \to 0$일 때 $0$으로 가고, 후자의 경우는 조금 더 subtle한데, $N$을 충분히 크게 잡아 꼬리부분은 $\mathcal{A}$의 유계성을 이용해 $ϵ$ 미만으로 만들고, 머리부분의 $N$개 sum은 $\delta$를 충분히 작게 잡아서 다시 $ϵ$ 미만으로 만들면 된다. $◻$

이 때, $f\ast K_{\delta }$ 역시 적분가능하다. 또 $f$로 a.e. pointwise 수렴할 뿐 아니라 $L^1$ norm sense에서도 수렴한다. 즉, 

$$\Vert (f\ast K_{\delta })-f{\Vert }_1\to 0$$

 

이것이 3.2의 핵심 정리이다.