1. Measure Theory

 

 
Stein Real Analysis의 내용 1장을 요약한다.

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1. 외측도 $m_\ast$를 다음과 같이 정의한다.
$$m_\ast(E)=\inf \sum^\infty |Q_j|$$
여기서 $Q_j$들은 $E$의 closed rectangular cover이고 $|Q|$는 그 넓이.
 
외측도의 성질은 다음과 같다.
$$E_1\subset E_2 \implies m_\ast(E_1)\leq m_\ast (E_2)$$
$$m_\ast\left(\bigcup^\infty E_i\right)\leq \sum ^\infty m_\ast(E_i)$$
$$m_\ast(E)=\inf_{E\subset\mathcal O}m_\ast(\mathcal O)$$
 
아래는 특정 조건에서 Additivity가 성립함을 보여준다.
$$d(E_1,E_2)>0 \implies \textrm{ Additivity.}$$
$$m_\ast\left(\bigcup^\infty Q_i\right) = \sum ^\infty m_\ast(Q_i) $$
(위에서 $Q_i$들은 almost disjoint rectangles)

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2. 측도는 외측도의 정의역을 제한한 함수이다. (계산은 외측도로 하기) 정의역은 다음을 만족시키는 subset $E$로 제한된다.
$$m_\ast(\mathcal O-E)<\epsilon$$
외측도에서는 '측도를 잰 뒤 빼서 $\epsilon$' 차이인데, 여기서는 '뺀 뒤 측도를 재서 $\epsilon$ 차이'이다. 둘은 분명히 다르다. 
 
위를 만족시키는 subset을 measurable subset이라 하며 $\mathfrak M$으로도 쓴다. 이 때, $\mathfrak M$은 open set을 포함하는 $\sigma$ algebra이며, Null set 역시 항상 Measurable이 된다.
 
또 Additivity가 성립한다.
$$m\left(\bigsqcup E_j\right)=\sum m(E_j)$$

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3. 측도는 어떤 의미에서 연속함수이다. 대충 말해 $\lim m(E_i)=m(\lim E_i)$라는 말인데, 집합열의 극한을 잘 설명하면 다음과 같다.
 (THM 3.3)
 
위에서 언급했듯이, '집합에서 뺀 뒤 측도를 재어서' $\epsilon$보다 작게할 수 있는데, 비슷하게 다음 정리들이 존재한다.
(THM 3.4)

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4. 나중에 나올 이야기이지만  사실 측도공간은 Categorical한 말이다. Measurable function은 measurable set의 역상이 measurable인 것이다. (Measure값이 무엇인지와 상관없이)
중요한 건 보통 $\mathbb R^d \to \mathbb R$에서 정의역은 위에서 정의한 르벡측도, 공역은 보렐측도를 가지는 것으로 생각한다.(보렐측도: Open Set으로 생성되는 가장 작은 $\sigma$ 대수)
 
$\mathbb R$의 위상적 성질을 잘 생각하면,(countable basis) 위의 경우 measurable function의 동치조건은 
$$f^{-1}(-\infty,a)\in \mathfrak M, \forall a\in \mathbb R$$
임을 알 수 있다. (혹은 $a\in \mathbb Q$도 되긴 하는데.. 암튼)
 
Measurable function은 더해도, 곱해도, 극한을 취해도 Measurable하다.
 
$f$가 measurable인 건 정의역의 Null set에서의 값과는 무관하다. 따라서 두 함수가 같다는 의미 $f=g$를 a.e. sense로 생각하는 것이 도움이 많이 된다.

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5. Measurable function을 다룰 때는 다음 정리가 많은 도움을 준다. 즉, Simple function들만 잘 다루면 Measurable function도 잘 다룰 수 있다.
(Thm 4.3)

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6. Littlewood's 3 principle
 
(1) Measurable Set은 거의 cube들의 union이다.
(2) Measurable Ftn은 거의 연속이다.
(3) 수렴하는 가측함수열은 거의 균등수렴이다.
 
아래에서 Set이 $\epsilon$ 차이난다는 의미는 Set에서 차집합을 한 뒤 measure를 쟀을 때 $\epsilon$ 차이남을 의미.
 
(1)은 위에서 나온 정리.
(2)은 Lusin 정리. 정의역을 $\epsilon$ 정도 없애면 M'ble Ftn은 연속이다.
(3)은 Egorov 정리. 정의역을 $\epsilon$정도 없애면 그 위에서 가측함수열은 균등수렴이다.
 
그런데 위 3개의 정리는 모두 다 정의역이 Finite measure인 것을 가정한다. (이걸 어떻게 생각해야 할 지는 아직 잘 모르겠다.)