3. 1 적분의 미분

 

보통 고등학교 때 배우는 미적분학에서는 적분과 미분이 서로의 역연산임을 다룬다. 이를 다변수 르벡적분의 관점에서

다시 서술할 수 있을까?

 

먼저, 적분하고 미분하는 연산을 다음과 같은 의미로 받아들이자. 

 

$$x\mapsto \lim_{m(B)\to 0}\frac{1}{m(B)}\int_B f(x-y)dy$$

 

위 함수가 $f$랑 동일할까? Lebesgue Differentiation Theorem은 적분가능한 함수 $f$에 대해 a.e. 관점에서 두 함수가 동일함을 알려준다. (사실 위 연산을 Averaging 이라고도 볼 수 있다.)

 

앞의 문제를 탐구하기 위해 다음 Hardy-Littlewood Maximal funtion

$$f^\ast(x)=\sup_{B}\frac{1}{B}\int_B|f(x-y)|dy$$

를 생각해보기로 한다. 여기서 $B$는 $0$를 포함하는 임의의 Ball.

---

2. $f^\ast$의 성질은 다음과 같다.

$$f^\ast\textrm{ is measurable.}$$

$$f^\ast(x)<\infty\textrm{ for a.e. $x$.}$$

 

특히, 

$$m(f^{\ast-1}(\alpha,\infty))\leq \frac{3^d}{\alpha}\Vert f\Vert_1$$

for all $\alpha>0$.

 

증명:

비탈리 보조정리를 사용한다.

Vitali Covering Lemma

유한한 Open Ball들의 모임 $\mathcal B=\{B_1,\cdots, B_N\}$이 있다고 하면, 특정 Subcollection $\mathcal B'\subset \mathcal B$가 있어서, 서로 disjoint하고 

$$m\left(\bigcap_{B_l\in\mathcal B} B_l\right)\leq 3^d\sum_{B_k\in \mathcal B'}m(B_k)$$

이다.(Lemma 증명은 p.102)

---

이제 $f^{\ast-1}(\alpha, \infty)$의 sub compact set을 임의로 잡고, Finite Covering을 이용하여 Vitali lemma를 쓰면 보이고자 하는 부등식이 보여진다.

---

그러므로 다음 등식이 $f$가 Integrable일 때 a.e. $\forall x$에 대해 성립한다.

$$\lim_{m(B) \to 0, x\in B}\frac{1}{m(B)}\int_Bf(y)dy=f(x)$$

 

증명 개요: 

$f$에 근접한 Compactly supported continuous function $g$를 잡고, $f$와 미분$\circ$적분$f$의 차이를 $g$를 이용해 나타내면 그 차이가 $|(f-g)^\ast|+|f-g|$로 bound된다. 후자는 임의로 작게 잡았고, 전자는 WeakType Inequality를 사용하면 되니 0으로 수렴시킬 수 있다. 

---

위의 증명과정을 보다보면, $f$가 integrable이라는 강력한 조건 없이도, 즉 $\mathbb R^d$ 전체에서 bounded value를 가져야 한다는 강력한 조건 없이도, Bounded Region에서만 Integrable이면 된다는 것을 알 수 있다. 따라서 다음을 정의하기로 한다.

 

Locally Integrable: 모든 ball $B$에 대하여 $f\cdot \chi_B$가 integrable하면 $f$를 Locally integrable하다고 정의한다.

그리고 이를 다음과 같이 표기한다.$$f\in L_{\textrm{loc}}^1(\mathbb R^d)$$

 

그러므로 르벡 미분 정리

$$\lim_{m(B) \to 0, x\in B}\frac{1}{m(B)}\int_Bf(y)dy=f(x)$$

는 $f$가 locally integrable일 때도 성립한다. (a.e. $x$에 대하여)

---

위 정리는 Measurable Set을 다음과 같이 a.e. sense에서 characterize할 수 있다.

 

$x\in \mathbb R^d$ is a point of (Lesbegue) density of $E$ if 

$$\lim_{m(B)\to 0, x\in B}\frac{m(B\cap E)}{m(B)}=1$$

 

그러면, $E\in \mathfrak M$은 a.e. $x$ sense로 다음이 성립한다.

$$x\in E \iff x\textrm{ is a point of density of }E$$

---

이제 Lebesgue Set을 정의해보자. $f$가 loc. int'ble할 때 $f$의 Lebesgue set을 다음을 만족하는 점 $\bar x$의 집합으로 정의한다.

$$\lim_{m(B)\to 0}\frac{1}{m(B)}\int_B f(y)dy = f(\bar x)$$

 

Corollary는, Lebesgue Set이 a.e. $\mathbb R^d$와 동일하다는 것이다.

 

증명.

증명. (p.107)