대학원 과정/대수학 (13) 썸네일형 리스트형 5. Sylow Theorem G의 exponent를 exp(G):=lcm{|x|:x∈G} 로 정의한다. 이 때 다음 lemma가 성립한다. Lemma G가 finite abelian이면, |G||exp(G)a for some a∈N. 증명은 |G|에 대한 Induction을 사용한다. |G|=|G/⟨x⟩|⋅|x|을 이용하면 증명할 수 있다. Corollary 만약 G가 finite abelian이고 p||G|이면, Order p인 subgroup이 존재한다. 증명은 p||G||exp(G)a에서 p∣|x| for some x∈G임으로부터 나온다. Group의 ord.. 4. Group Action OG(x)=Gx Gx≤G FixG(X)=XG={x∈X|Gx=x} Group action의 예시: 1. G의 Left Coset에 Left Mult로 act. 2.Conjugate Action: G에도, Sub(G)에도 act한다. 이 때 gH=gHg−1같은 표현법을 사용한다. Orbit을 만드는 것은 Partition을 만드는 일이다. 또 Group의 성질까지 생각하면 다음 Theorem을 얻는다. Orbit-stabilizer Thm X=⨿Gx≃⨿G/Gx |X|=∑(G:Gx) 특히 따름정리로는, G가 G에 conjugate로 act하는 상황에서 Class Formula .. 3. Group에 대한 기본적인 성질들 1. Direct product에 대한 Isomorphism H,K≤G이고, hk=kh,H∩K=e,HK=G이면 H×K=G 이다. 2. Normal Subgroup에 대한 Universal Property ϕ:G→G′이 N≤G를 e′으로 보내면, ϕ는 G/N을 factor한다. 3. 2nd isomorphism theorem과 Zassenhaus lemma. (Tikz를 못쓰는게 천추의 한) 4. Tower of groups Q는 cyclic tower를 가지지 않는 abelian group이다. 5. Feit-Thompson Theorem. Order가 홀수인 유한군은 Solvable하다. 6. Co.. 2. 군 어떤 집합 X 에 이항연산이 주어졌다는 것은 어떤 함수 X×X→X 가 주어졌다 (명시되었다)는 것을 의미한다. 예를 들어 +,× 등이 이항연산에 해당한다. 이 이항연산이 어떤 성질을 가지느냐에 따라 Magma, Semigroup, Monoid, Group이 된다. Magma는 이항연산이 주어진 집합을 지칭한다. 즉 (X,⋅)을 마그마라고 한다. Semigroup은 이항연산이 Associative인 Magma이다. 즉, X×X×X→X (x,y,z)↦x⋅y⋅z 를 잘 정의할 수 있다면 (X,⋅)을 Semigroup이라고 부른다. Monoid는 identity가 있는 Semi.. 1. 카테고리 Category는 Object, Morphism으로 이루어진 수학자들의 낙원이다. (플라톤의 이데아) 1X:X→X는 항상 존재해야 하는데, 이를 이용하면 두 Object가 isomorphic한지 아닌지를 정의할 수 있다. 카테고리의 예시로는 다음이 있다. Set,Top,Grp,Fieldp,Rng,⋯ 굳이 이데아에서만 카테고리를 찾을 이유는 없다. Set A가 주어졌을 때, inclusion을 morphism으로 하는 category를 만들 수 있다. (그리고 이건 굉장히 유용하다.) 카테고리가 유용한 이유는 나중에 이어서... 이전 1 2 다음