대학원 과정/대수학 (13) 썸네일형 리스트형 5. Sylow Theorem $G$의 exponent를 $$exp(G):=lcm \{|x|:x\in G\}$$ 로 정의한다. 이 때 다음 lemma가 성립한다. Lemma $G$가 finite abelian이면, $$|G| | exp(G)^a$$ for some $a\in \mathbb N$. 증명은 $|G|$에 대한 Induction을 사용한다. $|G|=|G/\langle x\rangle|\cdot |x|$을 이용하면 증명할 수 있다. Corollary 만약 $G$가 finite abelian이고 $p||G|$이면, Order $p$인 subgroup이 존재한다. 증명은 $p\;|\;\left|G\right|\;|\;exp(G)^a$에서 $p\mid\;|x|$ for some $x\in G$임으로부터 나온다. Group의 ord.. 4. Group Action $\mathcal O_G(x)=Gx$ $G_x\leq G$ $Fix_G(X)=X^G=\{x\in X| Gx=x\}$ Group action의 예시: 1. G의 Left Coset에 Left Mult로 act. 2.Conjugate Action: $G$에도, $Sub(G)$에도 act한다. 이 때 $^gH=gHg^{-1}$같은 표현법을 사용한다. Orbit을 만드는 것은 Partition을 만드는 일이다. 또 Group의 성질까지 생각하면 다음 Theorem을 얻는다. Orbit-stabilizer Thm $$X=\amalg Gx \simeq \amalg G/G_x$$ $$|X|=\sum(G:G_x)$$ 특히 따름정리로는, $G$가 $G$에 conjugate로 act하는 상황에서 Class Formula .. 3. Group에 대한 기본적인 성질들 1. Direct product에 대한 Isomorphism $H,K\leq G$이고, $hk=kh, H\cap K= e, HK=G$이면 $$H\times K=G$$ 이다. 2. Normal Subgroup에 대한 Universal Property $\phi: G\to G'$이 $N\leq G$를 $e'$으로 보내면, $\phi$는 $G/N$을 factor한다. 3. 2nd isomorphism theorem과 Zassenhaus lemma. (Tikz를 못쓰는게 천추의 한) 4. Tower of groups $\mathbb Q$는 cyclic tower를 가지지 않는 abelian group이다. 5. Feit-Thompson Theorem. Order가 홀수인 유한군은 Solvable하다. 6. Co.. 2. 군 어떤 집합 $X$ 에 이항연산이 주어졌다는 것은 어떤 함수 $$X\times X\to X$$ 가 주어졌다 (명시되었다)는 것을 의미한다. 예를 들어 $+, \times$ 등이 이항연산에 해당한다. 이 이항연산이 어떤 성질을 가지느냐에 따라 Magma, Semigroup, Monoid, Group이 된다. Magma는 이항연산이 주어진 집합을 지칭한다. 즉 $(X, \cdot)$을 마그마라고 한다. Semigroup은 이항연산이 Associative인 Magma이다. 즉, $$X\times X\times X\to X$$ $$(x,y,z)\mapsto x\cdot y\cdot z$$ 를 잘 정의할 수 있다면 $(X,\cdot)$을 Semigroup이라고 부른다. Monoid는 identity가 있는 Semi.. 1. 카테고리 Category는 Object, Morphism으로 이루어진 수학자들의 낙원이다. (플라톤의 이데아) $1_X:X\to X$는 항상 존재해야 하는데, 이를 이용하면 두 Object가 isomorphic한지 아닌지를 정의할 수 있다. 카테고리의 예시로는 다음이 있다. $$Set, Top, Grp, Field_p, Rng, \cdots$$ 굳이 이데아에서만 카테고리를 찾을 이유는 없다. Set $A$가 주어졌을 때, inclusion을 morphism으로 하는 category를 만들 수 있다. (그리고 이건 굉장히 유용하다.) 카테고리가 유용한 이유는 나중에 이어서... 이전 1 2 다음