3. Group에 대한 기본적인 성질들

1. Direct product에 대한 Isomorphism

 

$H,K\leq G$이고, $hk=kh, H\cap K= e, HK=G$이면

$$H\times K=G$$

이다.

 

2. Normal Subgroup에 대한 Universal Property

 

$\phi: G\to G'$이 $N\leq G$를 $e'$으로 보내면, $\phi$는 $G/N$을 factor한다.

 

3. 2nd isomorphism theorem과 Zassenhaus lemma.

 

(Tikz를 못쓰는게 천추의 한)

 

4. Tower of groups

$\mathbb Q$는 cyclic tower를 가지지 않는 abelian group이다.

 

5. Feit-Thompson Theorem.

Order가 홀수인 유한군은 Solvable하다.

 

6. Commutator subgroup 

$$G^{(n)}=[G^{(n-1)},G^{(n-1)}]$$

의 형태로 귀납적으로 정의한다.

 

7. Jordan factor

Finite Group의 Composition Series에서 simple factor를 Jordan factor라고 부른다.