5. Sylow Theorem

 

 

 

$G$의 exponent를

$$exp(G):=lcm \{|x|:x\in G\}$$

로 정의한다.

 

이 때 다음 lemma가 성립한다.

 

Lemma

$G$가 finite abelian이면,

$$|G| | exp(G)^a$$

for some $a\in \mathbb N$.

 

증명은 $|G|$에 대한 Induction을 사용한다. $|G|=|G/\langle x\rangle|\cdot |x|$을 이용하면 증명할 수 있다.

 

Corollary

만약 $G$가 finite abelian이고 $p||G|$이면, Order $p$인 subgroup이 존재한다.

 

증명은 $p\;|\;\left|G\right|\;|\;exp(G)^a$에서 $p\mid\;|x|$ for some $x\in G$임으로부터 나온다.

 

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Group의 order가 $p$의 power이면 그 군을 p-group이라고 한다. 또한 이 convention을 따라 p-subgroup역시 정의할 수 있고, $p^n\;||\;|G|$일 때의 p-subgroup을 Sylow p-subgroup이라고 부른다. Sylow p subgroup의 모임을

 

$$Syl_p(G)=\{H\leq G: H\textrm{ is a Sylow $p$-subgroup.}\}$$

 

으로 둔다.

 

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Sylow 정리는 다음과 같다.

 

1. $Syl_p(G)\neq \emptyset$

2. $G$의 모든 $p$-subgroup은 어떤 Sylow $p$ subgroup의 subgroup이다.

3. $Syl_p(G)$는 conjugate에 닫혀있다.

4. $|Syl_p(G)|\equiv 1 \pmod p$

 

 

증명을 따로 적을 엄두는 나지 않는다. 귀찮다..

단지 Group Action을 이용하면 맛깔나게 증명할 수 있다는 점은 기억해두자.

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이걸로 Group의 Solvablity과 관련된 문제를 좀 풀 수 있다. 노가다 문제..