6. Symmetric Groups

1. Cycle들은 유일하게 cycle decomposition이 된다.

2. 따라서 cycle type이 정해진다.

3. $S_n$은 transposition들로 생성된다.

 

4. Sign을 잘 정의할 수 있다: $S_n$이 $Hom({\mathbb{Z}}^n,\mathbb{Z})$에 act하는데, ($(\sigma \cdot f)(x)=f({\sigma }^{\ast }(x))$) 특히 $\mathrm{\Delta }(x_1,\cdots ,x_n)=\prod _{i<j}(x_j-x_i)$에 act하는 꼴을 잘 살펴보면 Sign을 $\mathrm{\Delta }$에 act해서 나오는 Sign으로 정의할 수 있다.

 

5.Alternating Group: $A_n\le S_n$

6. $A_5,A_6,\cdots$는 simple한 nonabelian group이다.