8. Additional Topics (...)

Dual Group

 

아벨군 $\mathbb {Z, Q}$에 대하여 $\mathbb Q/\mathbb Z$는 Abelian Torsion group이다. 이 때 

$$\mathbb Q/\mathbb Z[m]=\frac{1}{m}\mathbb Z/\mathbb Z$$

이다. 여기에 아이디어를 착안하여 (?)

 

$\underline{Ab}_m$: $A[m]=A$인 Abelian group들. 이 때 $(-)_m$은 functor로서 이해될 수 있다.

$A\in \underline{Ab}_m$의 dual group을 $A^\wedge:=Hom_{\underline{Ab}}(A,\frac{1}{m}\mathbb Z/\mathbb Z)\in \underline{Ab}_m$으로 정의한다. 또한, $A\overset{\phi}\to B$의 dual morphism $B^\wedge\overset{\phi^\wedge}{\to}A^\wedge$를 pullback으로 정의한다.

$$A\overset{\phi}\to B\overset{f}\to \frac{1}{m}\mathbb Z/\mathbb Z$$

 

여기서, $A\in \underline{Ab}$는 $A=A[m]=A[n]$를 만족시킬 수 있다. 그러면 $m$과 $n$의 선택에 따라 그 Dual group이 달라지는 것이 아닐까? (물론 논리적 문제는 없다. 그런데 찜찜할 뿐..)

하지만, 위 상황이 되기 위해서는 $m|n$이어야 하고 이런 경우 

$$A\overset{\phi}\to \frac{1}{m}\mathbb Z/\mathbb Z\to \frac{1}{n}\mathbb Z/\mathbb Z$$

를 생각하면 $A$를 $m$ torsion으로 보나 $n$ torsion으로 보나 아무 상관이 없다는 것을 알 수 있다. 사실은, $$A^\wedge = Hom_{\underline{Ab}}(A,\mathbb Q/\mathbb Z)$$이다.

 

만약 $A_1, A_2$가 finite abelian이면, $$A_1^\wedge \times A_2^\wedge\overset{\cong}{\to} (A_1\times A_2)^\wedge$$

$$(\phi_1, \phi_2)\mapsto \phi_1\circ \pi_1+\phi_2\circ \pi_2$$

$$(\phi\circ \imath_1,\phi\circ \imath_2)\mapsto \phi $$

이다.

 

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Bilinear Maps

 

$B: A\times A'\to C$가 Bilinear라는 점은... 잘 정의할 수 있다.

얘는 다음 관점으로도 바라볼 수 있다.

$$Hom_{\underline{Ab}}(A,Hom_{\underline{Ab}}(A',C))\cong\{\textrm{Bilinear maps } A\times A'\to C\}\cong Hom_{\underline{Ab}}(A',Hom_{\underline{Ab}}(A,C)) $$

 

Bilinear Map을 마치 내적처럼 여겨서, $A, A'$의 subset이 서로 orthogonal하다는 이야기를 해볼 수 있다.

$$S\perp S' \textrm{ if }B(S,S')=0$$

이 때 다음을 정의할 수 있다.

$$Lker(B)=\ker(L_B)=\{x\in A: x\perp A'\}$$

$$Rker(B)=\{x'\in A': A\perp x'\}$$

 

 

(...) 여긴 나중에 해야겠다... 뭘 하려는지 감이 안잡힌다.