8. Additional Topics (...)

Dual Group

 

아벨군 $\mathbb{Z}\mathbb{,}\mathbb{Q}$에 대하여 $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$는 Abelian Torsion group이다. 이 때 

$$\mathbb{Q}/\mathbb{Z}[m]=\frac{1}{m}\mathbb{Z}/\mathbb{Z}$$

이다. 여기에 아이디어를 착안하여 (?)

 

${\underset{―}{Ab}}_m$: $A[m]=A$인 Abelian group들. 이 때 $(-{)}_m$은 functor로서 이해될 수 있다.

$A\in {\underset{―}{Ab}}_m$의 dual group을 $A^{\wedge }:=Ho{m}_{\underset{―}{Ab}}(A,\frac{1}{m}\mathbb{Z}/\mathbb{Z})\in {\underset{―}{Ab}}_m$으로 정의한다. 또한, $A\stackrel{\varphi }{\to }B$의 dual morphism $B^{\wedge }\stackrel{{\varphi }^{\wedge }}{\to }{A}^{\wedge }$를 pullback으로 정의한다.

$$A\stackrel{\varphi }{\to }B\stackrel{f}{\to }\frac{1}{m}\mathbb{Z}/\mathbb{Z}$$

 

여기서, $A\in \underset{―}{Ab}$는 $A=A[m]=A[n]$를 만족시킬 수 있다. 그러면 $m$과 $n$의 선택에 따라 그 Dual group이 달라지는 것이 아닐까? (물론 논리적 문제는 없다. 그런데 찜찜할 뿐..)

하지만, 위 상황이 되기 위해서는 $m|n$이어야 하고 이런 경우 

$$A\stackrel{\varphi }{\to }\frac{1}{m}\mathbb{Z}/\mathbb{Z}\to \frac{1}{n}\mathbb{Z}/\mathbb{Z}$$

를 생각하면 $A$를 $m$ torsion으로 보나 $n$ torsion으로 보나 아무 상관이 없다는 것을 알 수 있다. 사실은, $$A^{\wedge }=Ho{m}_{\underset{―}{Ab}}(A,\mathbb{Q}/\mathbb{Z})$$이다.

 

만약 $A_1,A_2$가 finite abelian이면, $$A_1^{\wedge }\times A_2^{\wedge }\stackrel{\cong }{\to }(A_1\times A_2{)}^{\wedge }$$

$$({\varphi }_1,{\varphi }_2)\mapsto {\varphi }_1\circ {\pi }_1+{\varphi }_2\circ {\pi }_2$$

$$(\varphi \circ {ı}_1,\varphi \circ {ı}_2)\mapsto \varphi$$

이다.

 

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Bilinear Maps

 

$B:A\times A^{\prime }\to C$가 Bilinear라는 점은... 잘 정의할 수 있다.

얘는 다음 관점으로도 바라볼 수 있다.

$$Ho{m}_{\underset{―}{Ab}}(A,Ho{m}_{\underset{―}{Ab}}(A^{\prime },C))\cong \{\text{Bilinear maps }A\times A^{\prime }\to C\}\cong Ho{m}_{\underset{―}{Ab}}(A^{\prime },Ho{m}_{\underset{―}{Ab}}(A,C))$$

 

Bilinear Map을 마치 내적처럼 여겨서, $A,A^{\prime }$의 subset이 서로 orthogonal하다는 이야기를 해볼 수 있다.

$$S\perp S^{\prime }\text{ if }B(S,S^{\prime })=0$$

이 때 다음을 정의할 수 있다.

$$Lker(B)=\ker (L_B)=\{x\in A:x\perp A^{\prime }\}$$

$$Rker(B)=\{x^{\prime }\in A^{\prime }:A\perp x^{\prime }\}$$

 

 

(...) 여긴 나중에 해야겠다... 뭘 하려는지 감이 안잡힌다.