6. Symmetric Groups

1. Cycle들은 유일하게 cycle decomposition이 된다.

2. 따라서 cycle type이 정해진다.

3. $S_n$은 transposition들로 생성된다.

 

4. Sign을 잘 정의할 수 있다: $S_n$이 $Hom(\mathbb Z^n, \mathbb Z)$에 act하는데, ($(\sigma\cdot f)(x)= f(\sigma^*(x))$) 특히 $\Delta(x_1,\cdots,x_n)=\prod_{i<j}(x_j-x_i)$에 act하는 꼴을 잘 살펴보면 Sign을 $\Delta$에 act해서 나오는 Sign으로 정의할 수 있다.

 

5.Alternating Group: $A_n\leq S_n$

6. $A_5, A_6,\cdots$는 simple한 nonabelian group이다.