7. 유한생성 가환군의 기본정리

Abelian group의 Family $\{A_\alpha\}_\alpha$에 대하여 Direct Sum을 정의할 수 있다.
$$\bigoplus A_\alpha$$
 
얘는 inclusion과 함께 존재하는 Universal한 Object이다.
 
만일 $A_\alpha\leq A$이면, $\bigoplus A_\alpha \to A$가 정의된다.  특히 이 morphism이 isomorphic할 경우는
$A=A_1+A_2, A_1\cap A_2 = 0$일 경우이다.
 
Abelian Group은 $\mathbb Z$ module이기도 하다. 그러므로 Free abelian group을 Free $\mathbb Z$ module로 둘 수 있다. Free Group $S \hookrightarrow \mathbb Z^S$는 $S\to B$ 사이에서 Universal property를 가진다. 또, Rank를 정의할 수 있다.
 
Free abelian group의 Subgroup은 Free이다. 이는 다음 SES
$$0\to \ker \pi \to A\overset{\pi}{\to} F\to 0$$
에서 $\pi$의 section $s$가 존재하여 (Projective module) $\pi\circ s= id_F$, $A=\ker \pi \oplus Im(s)$을 만족시키는데, (이건 arrow chasing을 해야 한다.) 그 뒤 $rank A$에 대하여 induction을 쓰면 된다. (rank가 유한일땐..)
 
한편 $Hom(\mathbb Z^n, \mathbb Z^m)$은 자연스럽게 $\mathfrak M_{m\times n}(\mathbb Z)$과 동일하다.
 

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그런데, Smith Normal Form이라는게 존재해서, $M\in\mathfrak M_{m\times n}(\mathbb Z)$을 Diagonal Matrix와 equivalent하게 만들 수 있는데, 특히 $D_{11}|D_{22}|\cdots|D_{nn}$이 되도록 할 수 있다.
 
그러므로 $A$가 finitely generated라면, $A$를 다음 SES로서 이해할 수 있는데, 
$$0\to \mathbb Z^n\to \mathbb Z^m\to A\to 0$$
 
$\mathbb Z^n\to \mathbb Z^m$을 Smith Normal Form으로 이해하면 $A$의 구조를 바로 알 수 있다. 

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Abelian Group에는 Torsion subgroup $A_{tor}$이라는게 존재한다. $0$이 아닌 $\mathbb Z$의 원소가 $x\in A$를 annihilate할 때, $x$가 torsion이라고 한다. 만일 모든 원소가 Torsion이면 해당 아벨군을 Torsion 군이라 한다.
 
한편, '어떤 스칼라에 의해 annihilate되는지'를 궁금해 할 수도 있다. $m$에 의해 annihilate되는 원소들의 모임을
$$A[m]:=\ker(A\overset{m\cdot(-)}{\to}A)\leq A$$
이라 칭한다. 특히 $p>0$이 prime이면 그 $p$ group 비슷한 것을
$$A(p)=\bigcup_{k\in \mathbb N} A[p^k]\leq A$$
으로 정의한다. 얘는

$$A[p]\hookrightarrow A[p^2]\hookrightarrow \cdots$$

의 colimit으로 생각하면 된다.
 
또한 다음이 성립한다. 
$$A[m]\cap A[n] = A[(m)+(n)]$$
$$A[m]+A[n]=A[(m)\cap (n)]$$
 
또, $\phi: A\to B$는 
$$\phi_m: A[m]\to B[m]$$
을 유도한다.  더욱이 $A, B$가 torsion group일 때, $\phi$가 iso/inj $\iff$ $\phi_m$이 iso/inj.
 
다음은 뭔가 있어보인다.
$$A_{tor}=\bigoplus_{p} A(p)$$ 
증명은 직접적으로 isomorphism을 construct하기.
 

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이제 유한생성가환군의 기본정리를 보자.
$$A=A_{free}\oplus A_{tor}= A_{free}\oplus_p A(p)$$
이므로 $A(p)$만 어떻게 잘 생각해주면 되는데, $A(p)=\bigoplus \mathbb Z/p^{r_i}\mathbb Z$임을 보이면 된다. 
 
... 귀찮은 일들...