9. More on Category Theory

Hom functor

 

$$A\to B$$가 있을 때,

 

$$A'\overset{\phi}\to A$$ 혹은 $$B\overset{\psi}\to B'$$

를 통해

 

$$A'\to A\to B\to B'$$

를 생각할 수 있다.

 

이건 Functor로 이해될 수 있고, Left exact하다.

 

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Inverse limit

 

다음 filterated system

 

$$\cdots \to G_1 \to G_2 \to G_3 \to G_4\to \cdots$$

 

에서 ''최초의 원인'' 을 $\underset\leftarrow\lim G_i$라 하고 Limit=Inverse Limit=Projective Limit이라 한다. 

 

이 때 

$$Hom(H, \underset\leftarrow\lim G_i)\cong \underset\leftarrow\lim(Hom(H,G_i)$$

이 성립한다.

 

더구나, 만약 poset이 directed면, 즉, '결국 모이면' Directed inverse limit이라고 한다.

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예를 들어, $$\mathbb Z_p \to \cdots \mathbb Z/p^2\mathbb Z\to \mathbb Z/p\mathbb Z \to 0$$

을 생각해볼 수 있다. 이 universal object를 $p$-adic integer라 부른다.

 

또다른 예시로, $NormalSub(G)$의 일부를 가지고 만드는 system $G/H\to G/H'$의 limit을 생각해볼 수 있다.($H\leq H'$) 만약 $e\in Sub(G)$가 있으면 저 system이 애초에 $G/e=G$부터 시작하니까 재미있는 이야기가 있을 수 없다.

 

Profinite completion $\hat G$은 $NormalSub(G)$에서 cofinite normal subgroup만을 생각할 때 얻는 limit이다. 만약 $G=\hat G$이면 $G$를 profinite라고 한다. (예를 들면, 아직 이르지만 $Gal(\overline{\mathbb Q}/\mathbb Q)$는 profinite.)

 

Completion은 $G$의 Descending normal subgroup series를 이용해 정의한 cauchy sequence $\in G^\mathbb N$들의 모임을 upto null sequence identify시킴으로서 얻어지는 Group이다. Completion은 Limit의 특수한 경우로 생각할 수 있는데, 다음 system의 limit으로 보면 된다. 

$$\cdots \to G/G_2 \to G/G_1\to G/ G_0$$

 

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Functor

왜 이제 Functor가 나오는..?

 

Free functor, Forgetful functor, Abelianization, $m$-torsion functor, $I\to \mathcal C$

그리고 Contravariant Version도 있고..

특히 Dualization functor $$\underline{Ab}_m^{op}\to \underline{Ab}_m $$

를 앞서 배웠다.

 

Natural Transformations

사각형이 잘 돌아가면 natural transformation..

 

Representation of a Functor는 중요한 예시이다. 함자 $F:\mathcal C\to \underline{Set}$가 사실은 $Hom_{\mathcal C}(X,-)$로 이해될 수 있다면 $X$와 natural transformation $\theta$를 Representation이라 부른다. 물론 존재하지 않을 수도 있다.

 

Free group을 이렇게 이해할 수 있는데,  (...) 내가 이해를 못했다.

 

Free group 나온 김에 Presentation 이야기를 하면 (...)

 

Coproduct

Inclusion에 대한 universal object.

이건 또 Representation으로도 이해될 수 있다. (이해 못함..)

 

Set	Ab	Poset	Group
disjoint union	direct sum	least upper bound	free product

 

Product

Projection에 대한 universal object.

이것도 Representation으로 이해될 수 있다.

 

참고: free/forgetful이 존재하면, product는 set product랑 다르지 않다.

 

Fiber Product

$$X\to Z \leftarrow Y$$일 때, $W\to X, Y$ 사이에서의 universal object를 Fiber product of $X\to Z \leftarrow Y$라 하고 

$$X\times _Z Y$$

로 표기한다. 또 $f_Y$를 pullback해서 $\pi_X$를 만들었다고 표현한다. (Diagram을 상상해보자...)

 

예를 들어 $X\to Y\leftarrow E$가 있다 할 때, ($E$는 $Y$의 벡터번들) pullback해서 $X$에 벡터번들을 만들 수 있다. 

 

Equalizer도 비슷한데, $f, g:X\to Y$가 있을 때 잘 합성하면 $f\circ eq, g\circ eq: Z\to X\to Y$가 같을 수 있다. 이를 가능하게 하는 Universal object $eq: Z\to X$를 equalizer라고 한다.

 

Mon, Grp, Ab에서 Fiber Product가 존재한다.

 

Fiber Coproduct

그냥 arrow reversed version. 표기는 $X\amalg_Z Y$로 한다.

재미있는 예시는, 반캄펜 정리인데,

 

$$U_1\leftarrow U_1\cap U_2 \to U_2$$의 fiber coproduct는 $X=U_1\amalg U_2$이고 이 때 $pi_1$의 상을 보면 이 universal property를 보존해서

 

$$\pi_1(X)\cong \pi_1(U_1)\amalg \pi_1(U_2)$$

가 된다. (그런데 Universal property를 보존하는 건 어떻게 알지?)