Ring은 덧셈(abelian group)과 곱셈(monoid)이 둘다 정의되어 있어서, 둘이 잘 어울리면 (distribution law) Ring이라 한다.
이번에 대수학1 과제를 하다가,
아무튼 Ring morphism도 정의할 수 있고 Cring도 정의할 수 있고,
또 prod, fiber product, limit 등이 존재하고 (Set에서 계산하면 된다.)
Subring
0,1,+,x를 다 보존하는 subset을 subring이라 한다. 특히 Ring hom의 image는 subring.
unit이라 함은 역원이 존재하는 것.
(left) regular element라 함은
Division Ring은
Field는 Commutative division ring.
Domain은 Commutative ring s.t.
Module
스칼라 곱셈이 있는 Abelian group을 Module이라 한다.
Module도 category를 이루고, Product와 Coproduct가 다 잘 존재한다. (Prod는 Set에서, Coprod는 Ab에서)
Submodule
당연히 부분모듈도 있다.
Ring도 그 자체로 Module인데, Ring의 submodule을 Ideal이라고 한다.
Ideal이 generate되는 형태는
만약 어떤 Ideal이 한 원소로만 생성되면 그 아이디얼을 Principal이라 한다.
모든 Ideal이 Principle인 Domain은 PID라고 불린다.
Quotient Module
적당히 quotient를 취할 수 있다!
CRT:
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