12. Prime and Maximal Ideals

 

 

간단한 정리

$$Sub(M/N)\cong Su{b}_N(M)$$

을 Recall하자.

 

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maximal ideal

 

CRing에서 maximal ideal $\mathfrak{m}$이라 함은 $\mathfrak{m}$이 $Ideal(A)=Sub(A)$에서 $A$를 제외하고 maximal이라는 뜻이다.

 

동치조건으로 다음이 있다.

 

$$A/\mathfrak{m}\ne 0,Ideal(A/\mathfrak{m})=(A/\mathfrak{m},(0))$$

$$A/\mathfrak{m}\text{ is a field.}$$

 

Prime ideal

 

CRing의 proper ideal $\mathfrak{p}⪇A$에 대하여 다음 3가지가 동치이다

 

$$xy\in \mathfrak{p}⟹x\in \mathfrak{p}\text{ or }y\in \mathfrak{p}$$

$$IJ\le \mathfrak{p}⟹I\le \mathfrak{p}\text{ or }J\le \mathfrak{p}$$

$$A/\mathfrak{p}\text{ is an integral domain}$$

 

이 경우에 있어 $\mathfrak{p}$를 prime ideal이라고 한다.

 

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 Maximal ideal은 prime ideal이다. (Field는 Domain)

또 prime ideal의 역상 역시 prime ideal이다. (domain으로 inject되는 cring은 domain)