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?. 곡선(1) 곡선이라 함은 실수의 한 구간 $I$에 대하여 다음 연속함수 $X$를 의미한다.$$X:I\to \mathbb R^n$$ 혹은 $$X(t)=(x_1(t),\ldots, x_n(t))$$이다. $X$가 연속이라는 말의 뜻은 각 $x_1,\ldots, x_n(t)$가 연속이라는 말이다. $x_i$가 어색하다면, $X(t)=(x(t),y(t),z(t))$로 생각하도록 하자. 예시: 원의 매개화 두가지. $(c,s), (c,-s)$ 매개화하는 방법: $x^3+y^3=3xy$을 매개화해보기: $y=tx$라 두고 $t$에 대해 전개 곡선이 미분가능하다는 것은 $(x(t),y(t),z(t))$에서 $x,y,z$가 모두 미분가능하다는 뜻이다. 예시: $(t,|t|)$과 $(t|t|,|t|^2)$은 미분가능성 측면에서 다..
?. 8장. 외적 24.5.20 기초수학 튜터링을 위한 요약본. 외적은 3차원 공간에서만 정의된다(고 치자).  $$a\times b = (a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1)$$ 다음과 같이 abusing으로 생각 가능. (신발끈 공식도 recall한다.)$$\det\begin{pmatrix} \mathbf{e_1} & \mathbf{e_1} & \mathbf{e_3} \\ a_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2&b_3\end{pmatrix}$$ 중요한 성질은 다음과 같다.$$(a\times b)\cdot c = \det(a,b,c)$$(이걸 평행육면체에서 생각해보자!)그리고 $|a\times b|=|a||b||\sin\theta|$도 알 수 있다. 이제 위에서 정의하기로 벡..
? 역행렬과 행렬식 행렬식을 쉽게 가르치려면 쉽게 가르칠 수 있는데,, 성질들이 하도 많아서 하나하나 하기가 어렵다. 정사각 행렬 $A$에 대하여 $AB=BA=I$를 만족시키는 행렬 $B$가 존재하면, $B$를 $A$의 역행렬이라 하며 $A^{-1}$으로 쓴다. 얘는 항상 존재하진 않는다. $$\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^{-1}=\frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix}d &-b\\ -c& a\end{pmatrix} $$ 2by2 행렬의 행렬식은 $ad-bc$이다. 직관적인 의미 중 1개는 $e_1, e_2$로 만드는 정사각형을 signed 넓이 $ad-bc$를 가지는, $(a,c), (b,d)$로 만들어지는 평행사변형으로 옮기는 것.  여기서 알 수 있는 것: 만약 열..
?. 행렬과 선형사상 행렬곱은 결합법칙을 만족한다.선형사상은 상수항이 없는 일차함수이다. 단, 다변수벡터 일차함수. 행렬과 선형사상을 대응시키는 예시는 다음과 같다. $\mathbb R\to \mathbb R$:$$f(x)=ax \leftrightarrow ax$$ $\mathbb R\to \mathbb R^2$$$f(x)=(ax,bx) \leftrightarrow \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}x$$ $\mathbb R^2\to \mathbb R$$$f(x)=ax+by\leftrightarrow \begin{pmatrix}a&b\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$$ $\mathbb R^2\to \mathbb R^2$$$f(x)=(ax+by,cx+dy)..
3.3 미분의 적분 여기서는 $[a,b]\to \mathbb R$만 고려한다. 먼저 Bounded Variation인 function BV function을 탐구한다. BV function의 정의는 $T(a,x) 3.3의 주요 내용은 다음과 같다. 먼저 BV function의 기본적인 성질은 다음과 같다.BV function은 increasing bounded function의 차이다.Increasing bounded function은 a.e. 관점에서 미분가능하다.그러므로 BV function은 a.e. 미분가능하다.만약 BV function이 Continuous일때는,$\int_a^x F'(x)dx\leq F(b)-F(a)$등식이 성립하지 않는 예시가 존재한다. (칸토어 르벡 함수)등식이 성립 iff $F$가 Absol..
? 행렬. (기초수학1 튜터링 용으로 요약한 자료입니다.) 1. 행/ 렬 /row column의 의미$$\mathfrak M_{m,n}(\mathbb R)$$에서 $m$이 행 $n$이 열 행백터와 열백터 2. 행렬의 연산 (곱셈, 덧셈)특히 내적을 행렬로 보는 방법을 알아야 한다. 4. 전치행렬 Transpose 5. 정사각행렬의 항등행렬 3. 행렬과 일차식/이차식 (advanced)선형사상 0차식이 없는 1차식이차식: $ax^2$을 $xax$로 보는 것처럼 하기. 6. $(A+B)^2$ 계산하기 (commutative 조건 없을 때 어떻게 되는가) 특히 $\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}$ 계산해보기 중요: 행렬의 ..
Stein 3장 연습문제 여기서도 4k+2만 푼다. (+ Prob 8)숙제 문제는 6,7,9,17,19,24,32 + Problem 8. 2. (Kernel의 조건이 바뀌면 어떻게 될까?)Suppose $\{K_\delta\}$ is a family of kernels that satisfies:$|K_\delta(x)|\leq A\delta^{-d}$ for all $\delta>0$$|K_\delta(x)|\leq A\delta/|x|^{d+1}$ for all $\delta>0$.$\int K_\delta = {0}$ (Not 1!!)Show that if $f$ is integrable on $\mathbb R^d$, then$$(f\ast K_\delta)(x)\to 0 \textrm{  for a.e. $x$, as ..
Stein 2장 연습문제 푼 문제는 $4k+2$+Problem 3. 근데 22번은 안풀었다. (시험범위 아님)참고로 숙제 문제는 5,7,9,10,11,19 + Problem 3. 2. In analogy to Prop 2.5, prove that if $f$ is integrable on $\mathbb R^d$ and $\delta>0$, then $$\lim_{\delta \to 1}\Vert f(\delta x)-f(x)\Vert_1 = 0$$더보기증명:(1) $f$ 대신 Compact support continuous function $g$에 대해 증명하면 된다. 이는 다음 관찰에서 나온다:$\mathcal C^0_c\subset L^1$는 dense하므로, $\Vert g-f\Vert_1 $$\begin{align*}\..

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