? 역행렬과 행렬식

행렬식을 쉽게 가르치려면 쉽게 가르칠 수 있는데,, 성질들이 하도 많아서 하나하나 하기가 어렵다.

 

정사각 행렬 $A$에 대하여 $AB=BA=I$를 만족시키는 행렬 $B$가 존재하면, $B$를 $A$의 역행렬이라 하며 $A^{-1}$으로 쓴다. 얘는 항상 존재하진 않는다.

 

$${\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$$

 

2by2 행렬의 행렬식은 $ad-bc$이다. 직관적인 의미 중 1개는 $e_1,e_2$로 만드는 정사각형을 signed 넓이 $ad-bc$를 가지는, $(a,c),(b,d)$로 만들어지는 평행사변형으로 옮기는 것. 

 

여기서 알 수 있는 것:

 

만약 열벡터가 종속이면 행렬식이 $0$.

교대다중선형사상이다.

열벡터가 바뀌면 부호 바뀜. 상수배 하면 상수배 바뀌고, 선형적이고..

특히 교대선형이라는 특이한 성질 때문에 한 열을 다른 열에 더해도 동일. (평행사변형에선 sheer에 해당.)

 

이런 성질들을 평행사변형의 관점에서 설명할 수 있다.

 

(좋은 연습문제: 3.4.4)

 

이런식으로 구하는 방법 말고, 약간 신발끈 공식같은,, 걸 익히는 것도 굉장히 중요. ('끈'이라는 직관은 $n=2,3$까지만 해당. $A_3$은 cyclic이지만 $A_4$ 이상은 cyclic이 아니다.. 하하)

 

다음은 이 장의 핵심? 이기도 하다.

$det{A}^{-1}=(detA{)}^{-}1$, 특히 $A$가 가역 iff $detA$가 가역

 

 

다음은 지금은 어쩔 수 없이 더럽게 풀어야만 하는 공식.

$detA=det{A}^t$