?. 곡선(1)

곡선이라 함은 실수의 한 구간 $I$에 대하여 다음 연속함수 $X$를 의미한다.

$$X:I\to \mathbb R^n$$

혹은

$$X(t)=(x_1(t),\ldots, x_n(t))$$

이다.

$X$가 연속이라는 말의 뜻은 각 $x_1,\ldots, x_n(t)$가 연속이라는 말이다.

$x_i$가 어색하다면, $X(t)=(x(t),y(t),z(t))$로 생각하도록 하자.

예시: 원의 매개화 두가지. $(c,s), (c,-s)$

매개화하는 방법: $x^3+y^3=3xy$을 매개화해보기: $y=tx$라 두고 $t$에 대해 전개

곡선이 미분가능하다는 것은 $(x(t),y(t),z(t))$에서 $x,y,z$가 모두 미분가능하다는 뜻이다.

예시: $(t,|t|)$과 $(t|t|,|t|^2)$은 미분가능성 측면에서 다르다.

속도 벡터는 $X'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t))$이고, 속력은 $|X'(t)|$.

속도벡터를 이용하면 접선의 방정식을 구할 수 있다. ($s\mapsto X(t_0)+sX'(t_0)$)

중요한 연산들:

$X+Y, X\cdot Y, fX, X\times Y$

에서 미분하는 방법 알아두기. 이거 증명해보도록 하자.

가속도는 두번미분한 거. 접촉평면은 속도벡터와 가속도벡터의 선형span.

벡터함수 적분: 성분함수마다 적분하기. (미적분학의 기본 정리: $\int_a^bX'(t)dt=X(b)-X(a)$.

평면곡선과 극좌표계:

각운동량은 $X\times X'$, 이거의 미분은 $X\times X''$. (이거 증명 간단)

극좌표계에서는 $r^2\theta'$이 일정한 것이 각운동량이 일정하다는 의미이다.

극좌표계로 주어진 영역의 넓이는 다음과 같다.

$$A=\frac{1}{2}\int_{\theta_0}^{\theta_1}f(\theta)^2d\theta$$

재매개화

$X(t)=(\cos t, \sin t)$를 재매개화하면 $Y(s)=(\cos 2s, \sin 2s)$이다.

이때 $t=2s$이고, 이 매개화를 재매개화라고 한다.

연쇄법칙: $X(g(s))'=X'(g(s))g'(s)$.

역향 재매개화

길이의 정의: 분할의 sup

일급이면 속력의 적분으로 길이를 구한다.

THM: 곡선의 길이는 곡선을 재매개화하더라도 변하지 않는다.

그래프의 길이: $(x,f(x))$를 이용.

극좌표계에서는: 속력이 $\sqrt{r(\theta)^2+r'(\theta)^2}$

호의 길이로 재매개화하기.

선적분: $\int_X fds$.

Hyoni