?. 8장. 외적

24.5.20 기초수학 튜터링을 위한 요약본.

 

외적은 3차원 공간에서만 정의된다(고 치자).

 

 

$$a\times b=(a_2{b}_3-a_3{b}_2,a_3{b}_1-a_1{b}_3,a_1{b}_2-a_2{b}_1)$$

 

다음과 같이 abusing으로 생각 가능. (신발끈 공식도 recall한다.)

$$det\left(\begin{array}{ccc}{\mathbf{e}}_{\mathbf{1}}& {\mathbf{e}}_{\mathbf{1}}& {\mathbf{e}}_{\mathbf{3}}\\ a_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\end{array}\right)$$

 

중요한 성질은 다음과 같다.

$$(a\times b)\cdot c=det(a,b,c)$$

(이걸 평행육면체에서 생각해보자!)

그리고 $|a\times b|=|a||b||\sin \theta |$도 알 수 있다.

 

이제 위에서 정의하기로 벡터의 삼중곱을 $det(a,b,c)$로 정의한다. (텐서의 향기가 솔솔 난다.)

 

대수적 성질은 Lie algebra같은 것.

분배법칙, $\mathbb{R}$ multiplication, Anticommutative, (Jacobi Identity)

 

또 $|a{|}^2|b{|}^2=(a\cdot b{)}^2+|a\times b{|}^2$ 역시 중요.

 

 

응용1: 세 점을 지나는 평면의 방정식. ( 두 벡터를 구하고 외적하면 평면에 수직인 벡터를 얻는다.)

 

응용2. 점과 직선사이의 거리 (sin을 쓰는데, 이걸 외적으로 구할 수 있다.)