?. 행렬과 선형사상

행렬곱은 결합법칙을 만족한다.

선형사상은 상수항이 없는 일차함수이다. 단, 다변수벡터 일차함수.

 

행렬과 선형사상을 대응시키는 예시는 다음과 같다.

 

$\mathbb R\to \mathbb R$:

$$f(x)=ax \leftrightarrow ax$$

 

$\mathbb R\to \mathbb R^2$

$$f(x)=(ax,bx) \leftrightarrow \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}x$$

 

$\mathbb R^2\to \mathbb R$

$$f(x)=ax+by\leftrightarrow \begin{pmatrix}a&b\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$$

 

$\mathbb R^2\to \mathbb R^2$

$$f(x)=(ax+by,cx+dy) \leftrightarrow \begin{pmatrix}a & b\\ c& d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$$

 

예를 들면, 정사영 함수 $(v\cdot x)v$는 선형함수인데, 이에 대응되는 행렬은 $vv^t$이다.

 

또한, 선형사상이 행렬이라고 하는 의미에는 위 1-1 대응이 다음 성질을 만족시킨다는 의미를 핵심적으로 포함한다.

 

행렬곱은 선형사상의 합성에 대응된다.