일차결합: $\mathbf{i,j,k}$의 일차결합은
$$a_1\mathbf i +a_2\mathbf j+a_3\mathbf k$$
의 꼴이다.
만약 벡터들의 모임 $\{\mathbf a_1,\cdots, \mathbf a_n\}$ 중 어느 하나가 나머지 벡터들의 일차결합이면, 이 벡터들의 모임을 일차종속이라고 한다. 그렇지 않을 경우, 이 벡터들의 모임을 일차독립이라고 한다.
예시: 1. 좌표형태로
2. 평면 상에서
3. 3차원 상에서
4. Span이랑 generate 표현
김홍종 미적분학에서는 일차종속을 나타내기 위한 표기법으로 신기한 표기법을 도입했다.
$$\mathbf a_1 \wedge \cdots \wedge \mathbf a_n = \mathbf 0$$
이라 씀으로써 $\{\mathbf a_1,\cdots, \mathbf a_n\}$이 일차종속임을 표현한다. 반대로,
$$\mathbf a_1 \wedge \cdots \wedge \mathbf a_n \neq \mathbf 0$$
이라 씀으로써 $\{\mathbf a_1,\cdots, \mathbf a_n\}$이 일차독립임을 표현한다.
이는 Wedge Product를 미리...(?) 가져와서 쓴 것인데, $n$중선형사상인 Wedge product는 $a\wedge a=0$인 성질을 가지고 있어서 이를 잘 써보면 위의 식이 옳다는 것을 알 수 있다.
이 페이지에서 가장 중요한 정리는 다음이다.
$\{\mathbf a_1,\cdots, \mathbf a_n\}$가 일차독립일 필요충분 조건은 다음 방정식
$$x_1\mathbf a_1+\cdots +x_n\mathbf a_n=\mathbf 0$$
의 해가 trivial한 해 뿐인 것이다.
5.0.2
$x+y+z=0$
$x+2y+3z=0$
$3x+4y+5z=0$
은 사실
$$(1,1,3)x+(1,2,4)y+(1,3,5)z=(0,0,0)$$
이랑 똑같은 거고!! 얘가 자명하지 않은 해를 가지는 것과 선형종속인게 동치.