?. 벡터

 

김홍종 미적분학에서는 벡터를 시점과 종점이 정해진 유향선분의 equivalent class로 정의한다.

 

Equivalent class는 upto 평행이동이다.

 

$$T_{\mathbf{v}}:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n$$

$$X\mapsto X+\mathbf{v}$$

 

기본연습문제 1.0.1은 평행이동의 모임이 $Aut({\mathbb{R}}^n)$의 아벨부분군임을 보이는 문제이다. 이 논의가 나중에 어디에 쓰이는지는 아직 1학년에게 너무 이른 떡밥?

 

이제 평행이동 $T_{\mathbf{v}}$가 점 뿐만 아니라 유향선분들까지 이동시키는 것으로 간주하면, 유향선분들 끼리의 equivalent class를 만들 수 있고 따라서 벡터를 정의할 수 있다.

 

그래서 벡터에는 시점도 없고 종점도 없다. 하지만 편의상 시점을 원점으로 생각하면, 다음과 같은 관계를 얻는다.

 

$$point\leftrightarrow vector\leftrightarrow tranlsation$$

 

단순 1-1 대응일 뿐 아니라 구조까지 보존하는 대응이다. (더하기, 합성)

 

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벡터의 크기는

$$|v|=\sqrt{v_1^2+\cdots +v_n^2}$$

으로 정의한다. 비슷하게 벡터 사이의 거리는 

$$|v-w|$$

로 정의한다.

 

앞으로 편의상 $\mathbb{i}\mathbb{,}\mathbb{j}\mathbb{,}\mathbb{k}$를 3차원에서의 표준단위벡터

$$(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$$

으로 두기로 한다.

 

만약 3차원이 아니라 $n$차원이면 표준단위벡터를

$${\mathbb{e}}_1,\cdots ,{\mathbb{e}}_n$$

으로 둔다.

 

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벡터의 내적은 벡터의 크기와 큰 관련이 있다.

 

$${\mathbb{R}}^n\times {\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$$

$$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=a_1{b}_1+\cdots +a_n{b}_n$$

 

내적은 이중선형사상이다.

또한, $\mathbf{a}\cdot \mathbf{a}=|a{|}^2\ge 0$이다.

 

한편, $\mathbf{a}$를 고정시키면 

$${\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$$

$$\mathbf{x}\mapsto \mathbf{a}\cdot \mathbf{x}$$

라는 선형사상을 얻는데, 이 선형사상의 rank는 항상 1이다. (Unless $\mathbf{a}=0$)

(굉장히 중요한 떡밥이기도 하다..)

 

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벡터 사이의 거리를 계산할 때, 앞으로 내적을 많이 활용할 것이다. 예를 들면 벡터 $b$의 벡터 $a$로의 정사영은

$$p_{\mathbf{a}}(\mathbf{b})=\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{\mathbf{b}\cdot \mathbf{b}}\mathbf{a}$$

이다.

 

또 기하학적 직관을 이용한다면 각도에 관한 다음 식을 얻는다.

$$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos \theta$$

 

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다음은 내적과 관련된 부등식 중 가장 중요한 부등식이다. (CBS 부등식)

$$|\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}|\le |\mathbf{a}|\cdot |\mathbf{b}|$$

 

물론 다음 부등식도 굉장히 중요하다. (삼각 부등식)

$$|\mathbf{a}+\mathbf{b}|\le |\mathbf{a}|+|\mathbf{b}|$$

 

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Codimension 1인 아핀 공간을 (초)평면이라 부른다. 평면은 평면 속의 한 점 $P$와 그 평면에 수직인 방향 $\mathbf{a}$에 의하여 결정된다. 즉 $X$에 대한 식

$$\mathbf{a}\cdot (X-P)=0$$

을 평면의 방정식이라 한다.

 

Q. 점 $Q$와 평면 $\mathbf{a}\cdot (X-P)=0$ 사이의 거리는?

A. $\frac{|\mathbf{a}\cdot (Q-P)|}{|\mathbf{a}|}$

 

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Dimension 1인 아핀 공간을 직선이라 부른다. 직선은 직선 속의 한 점 $P$와 직선에 평행한 벡터 $\mathbf{v}$에 의하여, $t$에 대한 다음 식으로 결정된다.

$$X=X(t)=P+t\mathbf{v}$$

 

이때 $t$를 매개변수라고 부른다.