급수가 수렴하는지 아닌지 여부는 중요한 문제이다. (일반적으로, 적분이론에서도 마찬가지이다.)
이를 판단할 수 있는 방법은 몇 가지가 존재한다.
비교판정법은 다음과 같다.
$$0\leq a\leq b \implies \sum a\leq \sum b$$
거듭제곱근 판정법은 다음과 같다. $0\leq a_n$와 어떤 양수 $\epsilon <1$에 대하여
$$\sqrt[n]{a_n}<1-\epsilon \implies \sum a_n <\infty$$
$$\sqrt[n]{a_n}>1+\epsilon \implies \sum a_n =\infty$$
나는 이 명제를 처음 보았을 때, 다음 명제와의 차이점을 궁금해했다.
$$\sqrt[n]{a_n}<1 \implies \sum a_n<\infty$$
$$\sqrt[n]{a_n}>1 \implies \sum a_n =\infty$$
그러나 이 둘은 분명히 다른 명제이다. (특히 위 두 명제는 참, 아래 두 명제는 거짓이다.)
예컨대, 다음 수열 $a_n$를 생각해보자.
$$a= (0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, 0.99999, \cdots)$$
그리고 다음 두 명제의 참/거짓을 판별해보자.
$$a_n<1-\epsilon$$
$$a_n<1$$
전자는 거짓이고, 후자는 참이다. (왜 그런지를 모르겠다면 접은 글 참고)
$\epsilon$은 미리 정해진 작은 수이다. 예컨대 0.1, 0.01 등이 될 수있다. 중요한 점은 '미리 정해져서', 내가 논리를 진행시키는 동안 절대 바뀌지 않는 '상수'로 취급된다는 점이다.
그러므로, 예컨대 $\epsilon=0.001$이라 했다면, 첫 번째 명제는
$$a_n<0.999$$
가 된다. 그런데, $a_4=0.9999$이므로 모순이다.
특히 위 명제가 모순인 점은, 내가 아무리 $\epsilon$을 작게 잡아도 변하지 않는다. $epsilon=0.0000000001$이라고 해서 $a_n<1-\epsilon$이 되진 않는다.
$\epsilon$을 무한히 작은 수라고 두면 되지 않겠냐고? 그런 수는 없다. (없다기보단, 수학자들이 생각할 때 이런 수가 존재하면 '수학의 아름다움'을 해하므로 제명해버렸다고 보면 된다. 마치 명왕성이 왜소행성-134340이 된 것처럼..)
비율판정법은 다음과 같다. $0\leq a$과 $0<r<1$에 대하여
$$\frac{a_{n+1}}{a_n}\leq r \implies \sum a_n <\infty$$
$$\frac {a_{n+1}}{a_n}\geq 1 \implies \sum a_n = \infty$$
나는 역시 이 명제를 처음 보았을 때, 첫 명제와 다음 명제의 차이점을 궁금해했다.
$$ \frac{a_{n+1}}{a_n} < 1 \implies \sum a_n <\infty $$
거듭제곱근 판정법에서 비슷한 이야기를 했다. 모든 $n$에 대하여 $\frac{a_{n+1}}{a_n}$이 $r(<1)$보다 작은 것과 $1$보다 작은 것은 다르다.
적분판정법은 다음과 같다. 감소함수 $f:[1,\infty)\to \mathbb R^+$에 대하여,
$$\sum f(n) <\infty \iff \int_1^\infty f(x)dx<\infty$$
여기서, $ \int_1^\infty f(x)dx=\lim_{b\to \infty} \int_1^b f(x)dx$로 이해한다. (여전히 르벡 적분을 모르는 비애)
$p$-판정법은 적분판정법의 따름정리로, 매우 유용하다.
$$p>1\implies\sum \frac{1}{n^p}<\infty$$
$$p\leq 1\implies \sum \frac{1}{n^p}=\infty$$
교대급수정리는 다음과 같다.
교대급수는 수렴한다.
교대급수란, $|a_n|\geq |a_{n+1}|$이면서, 부호가 $+, -, +, -, +, -, \cdots$로 번갈아나오는데 $\lim a_n=0$인 수열을 일컫는다. 예를 들면,
$$a=(1,-1/2,+1/3,-1/4,+1/5,-1/6,\cdots)$$
로 만드는 급수 $\sum a_n$이 교대급수의 예시이다.
절대수렴과 조건수렴의 올바른 용어는 '명품 수렴'과 '짝퉁 수렴'이다. (역시 르벡 적분을 사용할 수 없는게 문제이다.)
$\sum |a_n|$이 수렴할 때 $\sum a_n$이 절대수렴한다고 표현한다. 만약 그렇지 않다면, $\sum a_n$이 조건수렴한다고 표현한다.
조건수렴이 짝퉁수렴인 이유는 다음과 같다.
조건수렴하는 급수는 항의 순서를 바꾸면 다른 값으로 수렴할 수 있다.
덧셈은 순서를 바꿔도 되는데, '무한 덧셈'은 순서를 바꿀 수 없다. 그렇지만, 예상할 수 있듯이, 명품수렴인 경우엔 이야기가 다르다.
절대수렴하는 급수는 항의 순서를 바꾸어도 원래의 수렴값으로 수렴한다.