김홍종 미적분학에서는 벡터를 시점과 종점이 정해진 유향선분의 equivalent class로 정의한다.
Equivalent class는 upto 평행이동이다.
$$T_\mathbf v :\mathbb R^n\to \mathbb R^n$$
$$X\mapsto X+\mathbf v$$
기본연습문제 1.0.1은 평행이동의 모임이 $Aut(\mathbb R^n)$의 아벨부분군임을 보이는 문제이다. 이 논의가 나중에 어디에 쓰이는지는 아직 1학년에게 너무 이른 떡밥?
이제 평행이동 $T_\mathbf v$가 점 뿐만 아니라 유향선분들까지 이동시키는 것으로 간주하면, 유향선분들 끼리의 equivalent class를 만들 수 있고 따라서 벡터를 정의할 수 있다.
그래서 벡터에는 시점도 없고 종점도 없다. 하지만 편의상 시점을 원점으로 생각하면, 다음과 같은 관계를 얻는다.
$$point \leftrightarrow vector \leftrightarrow tranlsation$$
단순 1-1 대응일 뿐 아니라 구조까지 보존하는 대응이다. (더하기, 합성)
벡터의 크기는
$$|v|=\sqrt{v_1^2+\cdots+v_n^2}$$
으로 정의한다. 비슷하게 벡터 사이의 거리는
$$|v-w|$$
로 정의한다.
앞으로 편의상 $\mathbb{i,j,k}$를 3차원에서의 표준단위벡터
$$(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$$
으로 두기로 한다.
만약 3차원이 아니라 $n$차원이면 표준단위벡터를
$$\mathbb e_1, \cdots, \mathbb e_n$$
으로 둔다.
벡터의 내적은 벡터의 크기와 큰 관련이 있다.
$$\mathbb R^n\times \mathbb R^n\to \mathbb R$$
$$\mathbf a\cdot\mathbf b = a_1b_1+\cdots+a_nb_n$$
내적은 이중선형사상이다.
또한, $\mathbf a\cdot \mathbf a = |a|^2\geq 0$이다.
한편, $\mathbf a$를 고정시키면
$$ \mathbb R^n\to \mathbb R$$
$$\mathbf x \mapsto \mathbf a\cdot \mathbf x$$
라는 선형사상을 얻는데, 이 선형사상의 rank는 항상 1이다. (Unless $\mathbf a=0$)
(굉장히 중요한 떡밥이기도 하다..)
벡터 사이의 거리를 계산할 때, 앞으로 내적을 많이 활용할 것이다. 예를 들면 벡터 $b$의 벡터 $a$로의 정사영은
$$p_\mathbf a(\mathbf b)=\frac{\mathbf a\cdot \mathbf b}{ \mathbf b\cdot \mathbf b} \mathbf a$$
이다.
또 기하학적 직관을 이용한다면 각도에 관한 다음 식을 얻는다.
$$\mathbf a\cdot \mathbf b = | \mathbf a|| \mathbf b|\cos \theta$$
다음은 내적과 관련된 부등식 중 가장 중요한 부등식이다. (CBS 부등식)
$$| \mathbf a\cdot \mathbf b|\leq | \mathbf a|\cdot| \mathbf b|$$
물론 다음 부등식도 굉장히 중요하다. (삼각 부등식)
$$|\mathbf a+ \mathbf b|\leq |\mathbf a|+|\mathbf b|$$
Codimension 1인 아핀 공간을 (초)평면이라 부른다. 평면은 평면 속의 한 점 $P$와 그 평면에 수직인 방향 $\mathbf a$에 의하여 결정된다. 즉 $X$에 대한 식
$$\mathbf a\cdot (X-P)=0$$
을 평면의 방정식이라 한다.
Q. 점 $Q$와 평면 $\mathbf a\cdot (X-P)=0$ 사이의 거리는?
A. $\frac{| \mathbf a\cdot(Q-P)|}{|\mathbf a|}$
Dimension 1인 아핀 공간을 직선이라 부른다. 직선은 직선 속의 한 점 $P$와 직선에 평행한 벡터 $\mathbf v$에 의하여, $t$에 대한 다음 식으로 결정된다.
$$X=X(t)=P+t\mathbf v$$
이때 $t$를 매개변수라고 부른다.