2. 급수

급수가 수렴하는지 아닌지 여부는 중요한 문제이다. (일반적으로, 적분이론에서도 마찬가지이다.)

 

이를 판단할 수 있는 방법은 몇 가지가 존재한다.

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비교판정법은 다음과 같다.

 

$$0\le a\le b⟹\sum a\le \sum b$$

 

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거듭제곱근 판정법은 다음과 같다. $0\le a_n$와 어떤 양수 $ϵ<1$에 대하여

 

$$\sqrt[n]{a_n}<1-ϵ⟹\sum a_n<\mathrm{\infty }$$

$$\sqrt[n]{a_n}>1+ϵ⟹\sum a_n=\mathrm{\infty }$$

 

나는 이 명제를 처음 보았을 때, 다음 명제와의 차이점을 궁금해했다.

 

$$\sqrt[n]{a_n}<1⟹\sum a_n<\mathrm{\infty }$$

$$\sqrt[n]{a_n}>1⟹\sum a_n=\mathrm{\infty }$$

 

그러나 이 둘은 분명히 다른 명제이다. (특히 위 두 명제는 참, 아래 두 명제는 거짓이다.)

 

예컨대, 다음 수열 $a_n$를 생각해보자.

$$a=(0.9,0.99,0.999,0.9999,0.99999,\cdots )$$

 

그리고 다음 두 명제의 참/거짓을 판별해보자.

 

$$a_n<1-ϵ$$

$$a_n<1$$

 

전자는 거짓이고, 후자는 참이다. (왜 그런지를 모르겠다면 접은 글 참고)

$ϵ$은 미리 정해진 작은 수이다. 예컨대 0.1, 0.01 등이 될 수있다. 중요한 점은 '미리 정해져서', 내가 논리를 진행시키는 동안 절대 바뀌지 않는 '상수'로 취급된다는 점이다.

 

그러므로, 예컨대 $ϵ=0.001$이라 했다면, 첫 번째 명제는

$$a_n<0.999$$

가 된다. 그런데, $a_4=0.9999$이므로 모순이다.

 

특히 위 명제가 모순인 점은, 내가 아무리 $ϵ$을 작게 잡아도 변하지 않는다. $epsilon=0.0000000001$이라고 해서 $a_n<1-ϵ$이 되진 않는다. 

 

$ϵ$을 무한히 작은 수라고 두면 되지 않겠냐고? 그런 수는 없다. (없다기보단, 수학자들이 생각할 때 이런 수가 존재하면 '수학의 아름다움'을 해하므로 제명해버렸다고 보면 된다. 마치 명왕성이 왜소행성-134340이 된 것처럼..) 

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비율판정법은 다음과 같다. $0\le a$과 $0<r<1$에 대하여

$$\frac{a_{n+1}}{a_n}\le r⟹\sum a_n<\mathrm{\infty }$$

$$\frac{a_{n+1}}{a_n}\ge 1⟹\sum a_n=\mathrm{\infty }$$

 

나는 역시 이 명제를 처음 보았을 때, 첫 명제와 다음 명제의 차이점을 궁금해했다.

 

$$\frac{a_{n+1}}{a_n}<1⟹\sum a_n<\mathrm{\infty }$$

 

거듭제곱근 판정법에서 비슷한 이야기를 했다. 모든 $n$에 대하여 $\frac{a_{n+1}}{a_n}$이 $r(<1)$보다 작은 것과 $1$보다 작은 것은 다르다.

 

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적분판정법은 다음과 같다. 감소함수 $f:[1,\mathrm{\infty })\to {\mathbb{R}}^{+}$에 대하여,

$$\sum f(n)<\mathrm{\infty }⟺{\int }_1^{\mathrm{\infty }}f(x)dx<\mathrm{\infty }$$ 

 

여기서, ${\int }_1^{\mathrm{\infty }}f(x)dx=\underset{b\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_1^{b}f(x)dx$로 이해한다. (여전히 르벡 적분을 모르는 비애)

 

$p$-판정법은 적분판정법의 따름정리로, 매우 유용하다.

 

$$p>1⟹\sum \frac{1}{n^p}<\mathrm{\infty }$$

$$p\le 1⟹\sum \frac{1}{n^p}=\mathrm{\infty }$$

 

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교대급수정리는 다음과 같다.

 

교대급수는 수렴한다.

 

교대급수란, $|a_n|\ge |a_{n+1}|$이면서, 부호가 $+,-,+,-,+,-,\cdots$로 번갈아나오는데 $lim{a}_n=0$인 수열을 일컫는다. 예를 들면,

$$a=(1,-1/2,+1/3,-1/4,+1/5,-1/6,\cdots )$$

로 만드는 급수 $\sum a_n$이 교대급수의 예시이다. 

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절대수렴과 조건수렴의 올바른 용어는 '명품 수렴'과 '짝퉁 수렴'이다. (역시 르벡 적분을 사용할 수 없는게 문제이다.)

 

$\sum |a_n|$이 수렴할 때 $\sum a_n$이 절대수렴한다고 표현한다. 만약 그렇지 않다면, $\sum a_n$이 조건수렴한다고 표현한다.

 

조건수렴이 짝퉁수렴인 이유는 다음과 같다.

 

조건수렴하는 급수는 항의 순서를 바꾸면 다른 값으로 수렴할 수 있다.

 

덧셈은 순서를 바꿔도 되는데, '무한 덧셈'은 순서를 바꿀 수 없다. 그렇지만, 예상할 수 있듯이, 명품수렴인 경우엔 이야기가 다르다.

 

절대수렴하는 급수는 항의 순서를 바꾸어도 원래의 수렴값으로 수렴한다.