급수가 수렴하는지 아닌지 여부는 중요한 문제이다. (일반적으로, 적분이론에서도 마찬가지이다.)
이를 판단할 수 있는 방법은 몇 가지가 존재한다.
비교판정법은 다음과 같다.
거듭제곱근 판정법은 다음과 같다.
나는 이 명제를 처음 보았을 때, 다음 명제와의 차이점을 궁금해했다.
그러나 이 둘은 분명히 다른 명제이다. (특히 위 두 명제는 참, 아래 두 명제는 거짓이다.)
예컨대, 다음 수열
그리고 다음 두 명제의 참/거짓을 판별해보자.
전자는 거짓이고, 후자는 참이다. (왜 그런지를 모르겠다면 접은 글 참고)
그러므로, 예컨대
가 된다. 그런데,
특히 위 명제가 모순인 점은, 내가 아무리
비율판정법은 다음과 같다.
나는 역시 이 명제를 처음 보았을 때, 첫 명제와 다음 명제의 차이점을 궁금해했다.
거듭제곱근 판정법에서 비슷한 이야기를 했다. 모든
적분판정법은 다음과 같다. 감소함수
여기서,
교대급수정리는 다음과 같다.
교대급수는 수렴한다.
교대급수란,
로 만드는 급수
절대수렴과 조건수렴의 올바른 용어는 '명품 수렴'과 '짝퉁 수렴'이다. (역시 르벡 적분을 사용할 수 없는게 문제이다.)
조건수렴이 짝퉁수렴인 이유는 다음과 같다.
조건수렴하는 급수는 항의 순서를 바꾸면 다른 값으로 수렴할 수 있다.
덧셈은 순서를 바꿔도 되는데, '무한 덧셈'은 순서를 바꿀 수 없다. 그렇지만, 예상할 수 있듯이, 명품수렴인 경우엔 이야기가 다르다.
절대수렴하는 급수는 항의 순서를 바꾸어도 원래의 수렴값으로 수렴한다.