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교양 수학/미적분학

2. 급수

급수가 수렴하는지 아닌지 여부는 중요한 문제이다. (일반적으로, 적분이론에서도 마찬가지이다.)

 

이를 판단할 수 있는 방법은 몇 가지가 존재한다.


비교판정법은 다음과 같다.

 

0abab

 


거듭제곱근 판정법은 다음과 같다. 0an와 어떤 양수 ϵ<1에 대하여

 

nan<1ϵan<

nan>1+ϵan=

 

나는 이 명제를 처음 보았을 때, 다음 명제와의 차이점을 궁금해했다.

 

nan<1an<

nan>1an=

 

그러나 이 둘은 분명히 다른 명제이다. (특히 위 두 명제는 참, 아래 두 명제는 거짓이다.)

 

예컨대, 다음 수열 an를 생각해보자.

a=(0.9,0.99,0.999,0.9999,0.99999,)

 

그리고 다음 두 명제의 참/거짓을 판별해보자.

 

an<1ϵ

an<1

 

전자는 거짓이고, 후자는 참이다. (왜 그런지를 모르겠다면 접은 글 참고)

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ϵ은 미리 정해진 작은 수이다. 예컨대 0.1, 0.01 등이 될 수있다. 중요한 점은 '미리 정해져서', 내가 논리를 진행시키는 동안 절대 바뀌지 않는 '상수'로 취급된다는 점이다.

 

그러므로, 예컨대 ϵ=0.001이라 했다면, 첫 번째 명제는

an<0.999

가 된다. 그런데, a4=0.9999이므로 모순이다.

 

특히 위 명제가 모순인 점은, 내가 아무리 ϵ을 작게 잡아도 변하지 않는다. epsilon=0.0000000001이라고 해서 an<1ϵ이 되진 않는다. 

 

ϵ을 무한히 작은 수라고 두면 되지 않겠냐고? 그런 수는 없다. (없다기보단, 수학자들이 생각할 때 이런 수가 존재하면 '수학의 아름다움'을 해하므로 제명해버렸다고 보면 된다. 마치 명왕성이 왜소행성-134340이 된 것처럼..) 


비율판정법은 다음과 같다. 0a0<r<1에 대하여

an+1anran<

an+1an1an=

 

나는 역시 이 명제를 처음 보았을 때, 첫 명제와 다음 명제의 차이점을 궁금해했다.

 

an+1an<1an<

 

거듭제곱근 판정법에서 비슷한 이야기를 했다. 모든 n에 대하여 an+1anr(<1)보다 작은 것과 1보다 작은 것은 다르다.

 


적분판정법은 다음과 같다. 감소함수 f:[1,)R+에 대하여,

f(n)<1f(x)dx< 

 

여기서, 1f(x)dx=limbb1f(x)dx로 이해한다. (여전히 르벡 적분을 모르는 비애)

 

p-판정법은 적분판정법의 따름정리로, 매우 유용하다.

 

p>11np<

p11np=

 


교대급수정리는 다음과 같다.

 

교대급수는 수렴한다.

 

교대급수란, |an||an+1|이면서, 부호가 +,,+,,+,,로 번갈아나오는데 liman=0인 수열을 일컫는다. 예를 들면,

a=(1,1/2,+1/3,1/4,+1/5,1/6,)

로 만드는 급수 an이 교대급수의 예시이다. 


절대수렴조건수렴의 올바른 용어는 '명품 수렴'과 '짝퉁 수렴'이다. (역시 르벡 적분을 사용할 수 없는게 문제이다.)

 

|an|이 수렴할 때 an이 절대수렴한다고 표현한다. 만약 그렇지 않다면, an이 조건수렴한다고 표현한다.

 

조건수렴이 짝퉁수렴인 이유는 다음과 같다.

 

조건수렴하는 급수는 항의 순서를 바꾸면 다른 값으로 수렴할 수 있다.

 

덧셈은 순서를 바꿔도 되는데, '무한 덧셈'은 순서를 바꿀 수 없다. 그렇지만, 예상할 수 있듯이, 명품수렴인 경우엔 이야기가 다르다.

 

절대수렴하는 급수는 항의 순서를 바꾸어도 원래의 수렴값으로 수렴한다.

 

 

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