수열 $a=(a_0,a_1,a_2,a_3,\cdots)$가 주어졌을 때, 다음 함수를 생각할 수 있다.
$$\sum a_nx^n=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\cdots$$
이를 거듭제곱급수라고 부른다. 혹은 '무한차수다항식'으로도 이해할 수 있다.
사실 거듭제곱급수를 함수라고 부르기엔 민망하다. 실제로 아니기도 하고, (놀랍게도, 다항식조차 함수가 아니다.) 무엇보다 수렴하는 $x$의 범위를 잘 조절해주어야 하기에 정의역이 무엇인지 확실하게 해주어야 한다.
예를 들면, $\sum n! x^n$은 $x=0$이 아니고서야 수렴하지 않는 반면에, $\sum \frac{x^n}{n!}$은 모든 $x$에 대하여 수렴한다. 즉, 위 두 거듭제곱급수를 함수로 바라본다면 각각의 정의역은
$$ \sum n! x^n:\{0\}\to\mathbb R$$
$$\sum \frac{x^n}{n!}:\mathbb R\to \mathbb R$$
이다.
거듭제곱급수의 정의역을 구하고자 할 때, 다음 정리는 좋은 정보를 제공한다.
| $f(x)=\sum a_nx^n$에 대하여 $f(x_0)$이 수렴하고 $f(x_1)$이 발산하면, $$|x|<|x_0| \implies f(x)가 절대수렴$$ $$|x|>|x_1| \implies f(x)가 발산$$ |
그러므로, 수렴반경 $r$이 정의된다. 수렴반경 안에서는 거듭제곱급수가 수렴하고, 수렴반경 바깥에서는 거듭제곱급수가 발산한다.
다음은 수렴반경을 쉽게 찾게 해주는 정리이다.
| $$l:=\lim_{n\to \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$$ 이 존재한다고 할 때, $r=1/l\in [0,\infty]$이다. 일반적으로, $$l:=\limsup_{n\to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}$$ 은 항상 존재하고, 이때 $r=1/l$이다. |
단, 그 경계 위에서 거듭제곱급수가 수렴하는지, 수렴하지 않는지는 위의 정리만으로는 알 수 없다. 따라서 이 경우에는 직접 구해야 한다.
| 거듭제곱급수 | 수렴범위 | 수렴반경 |
| $\sum x^n$ | $-1<x<1$ | $1$ |
| $\sum x^n/n$ | $-1\leq x<1$ | $1$ |
| $\sum (-x)^n/n$ | $-1<x\leq 1$ | $1$ |
| $\sum x^n/n^2$ | $-1\leq x\leq 1$ | $1$ |
거듭제곱급수도 미분가능하고 적분가능하다.
미분, 적분을 해도 수렴반경은 동일하며, 도함수는 항 별로 미분하여 얻을 수 있고 적분 역시 마찬가지로 항 별로 적분하여 얻을 수 있다. 즉,
$$\frac{d}{dx}(\sum a_nx^n)=\sum\frac{d}{dx}a_nx^n$$
$$\int_a^b(\sum a_nx^n)=\sum\int_a^ba_nx^ndx$$
이다.
거듭제곱급수의 예시는 다음과 같다.
$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\cdots$$
$$\sin x=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}+\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+\cdots$$
$$\cos x=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n!)}+\cdots$$
$$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+\cdots$$
$$\log(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\cdots+(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}+\cdots$$