?. 일차독립과 일차종속

일차결합: $\mathbf{i}\mathbf{,}\mathbf{j}\mathbf{,}\mathbf{k}$의 일차결합은 

$$a_1\mathbf{i}+a_2\mathbf{j}+a_3\mathbf{k}$$

의 꼴이다.

 

만약 벡터들의 모임 $\{{\mathbf{a}}_1,\cdots ,{\mathbf{a}}_n\}$ 중 어느 하나가 나머지 벡터들의 일차결합이면, 이 벡터들의 모임을 일차종속이라고 한다. 그렇지 않을 경우, 이 벡터들의 모임을 일차독립이라고 한다.

 

예시: 1. 좌표형태로

2. 평면 상에서

3. 3차원 상에서

4. Span이랑 generate 표현

---

김홍종 미적분학에서는 일차종속을 나타내기 위한 표기법으로 신기한 표기법을 도입했다.

 

$${\mathbf{a}}_1\wedge \cdots \wedge {\mathbf{a}}_n=\mathbf{0}$$

이라 씀으로써 $\{{\mathbf{a}}_1,\cdots ,{\mathbf{a}}_n\}$이 일차종속임을 표현한다. 반대로, 

 

$${\mathbf{a}}_1\wedge \cdots \wedge {\mathbf{a}}_n\ne \mathbf{0}$$

이라 씀으로써 $\{{\mathbf{a}}_1,\cdots ,{\mathbf{a}}_n\}$이 일차독립임을 표현한다.

 

이는 Wedge Product를 미리...(?) 가져와서 쓴 것인데, $n$중선형사상인 Wedge product는 $a\wedge a=0$인 성질을 가지고 있어서 이를 잘 써보면 위의 식이 옳다는 것을 알 수 있다.

 

---

이 페이지에서 가장 중요한 정리는 다음이다.

 

$\{{\mathbf{a}}_1,\cdots ,{\mathbf{a}}_n\}$가 일차독립일 필요충분 조건은 다음 방정식

$$x_1{\mathbf{a}}_1+\cdots +x_n{\mathbf{a}}_n=\mathbf{0}$$

의 해가 trivial한 해 뿐인 것이다.

 

5.0.2

$x+y+z=0$

$x+2y+3z=0$

$3x+4y+5z=0$

은 사실

 

$$(1,1,3)x+(1,2,4)y+(1,3,5)z=(0,0,0)$$

이랑 똑같은 거고!! 얘가 자명하지 않은 해를 가지는 것과 선형종속인게 동치.