3. 거듭제곱급수

수열 $a=(a_0,a_1,a_2,a_3,\cdots )$가 주어졌을 때, 다음 함수를 생각할 수 있다.

 

$$\sum a_n{x}^n=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3+\cdots$$

 

이를 거듭제곱급수라고 부른다. 혹은 '무한차수다항식'으로도 이해할 수 있다.

 

사실 거듭제곱급수를 함수라고 부르기엔 민망하다. 실제로 아니기도 하고, (놀랍게도, 다항식조차 함수가 아니다.) 무엇보다 수렴하는 $x$의 범위를 잘 조절해주어야 하기에 정의역이 무엇인지 확실하게 해주어야 한다.

 

예를 들면, $\sum n!x^n$은 $x=0$이 아니고서야 수렴하지 않는 반면에, $\sum \frac{x^n}{n!}$은 모든 $x$에 대하여 수렴한다. 즉, 위 두 거듭제곱급수를 함수로 바라본다면 각각의 정의역은

 

$$\sum n!x^n:\{0\}\to \mathbb{R}$$

$$\sum \frac{x^n}{n!}:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$$

 

이다.

 

---

 

거듭제곱급수의 정의역을 구하고자 할 때, 다음 정리는 좋은 정보를 제공한다.

$f(x)=\sum a_n{x}^n$에 대하여 $f(x_0)$이 수렴하고 $f(x_1)$이 발산하면,  $$|x|<|x_0|⟹f(x)가절대수렴$$ $$|x|>|x_1|⟹f(x)가발산$$

 

그러므로, 수렴반경 $r$이 정의된다. 수렴반경 안에서는 거듭제곱급수가 수렴하고, 수렴반경 바깥에서는 거듭제곱급수가 발산한다.

 

다음은 수렴반경을 쉽게 찾게 해주는 정리이다.

$$l:=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$$ 이 존재한다고 할 때, $r=1/l\in [0,\mathrm{\infty }]$이다. 일반적으로,  $$l:=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim sup}\sqrt[n]{|a_n|}$$ 은 항상 존재하고, 이때 $r=1/l$이다.

 

단, 그 경계 위에서 거듭제곱급수가 수렴하는지, 수렴하지 않는지는 위의 정리만으로는 알 수 없다. 따라서 이 경우에는 직접 구해야 한다.

거듭제곱급수	수렴범위	수렴반경
$\sum x^n$	$-1<x<1$	$1$
$\sum x^n/n$	$-1\le x<1$	$1$
$\sum (-x{)}^n/n$	$-1<x\le 1$	$1$
$\sum x^n/n^2$	$-1\le x\le 1$	$1$

 

---

거듭제곱급수도 미분가능하고 적분가능하다.

 

미분, 적분을 해도 수렴반경은 동일하며, 도함수는 항 별로 미분하여 얻을 수 있고 적분 역시 마찬가지로 항 별로 적분하여 얻을 수 있다. 즉,

$$\frac{d}{dx}(\sum a_n{x}^n)=\sum \frac{d}{dx}{a}_n{x}^n$$

$${\int }_a^b(\sum a_n{x}^n)=\sum {\int }_a^b{a}_n{x}^{n}dx$$

이다.

 

---

거듭제곱급수의 예시는 다음과 같다.

 

$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\cdots +\frac{x^n}{n!}+\cdots$$

$$\sin x=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}+\cdots +(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+\cdots$$

$$\cos x=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\cdots +(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n!)}+\cdots$$

$$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+\cdots$$

$$\log (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\cdots +(-1{)}^{n+1}\frac{x^n}{n}+\cdots$$