1. 수열

수열은 정의역이 $\mathbb{N}$이고 치역이 $\mathbb{R}$인 함수이다. 

$\mathbb{N}$이 가지는 위상적 성질은 없다. (이산적이다.) 하지만 $\mathbb{N}$을 순서집합으로 바라보았을 때, 그 극한을 $\mathrm{\infty }$로 생각해 본다면, 수열의 극한을 정의할 수 있을 것이다.

 

만약 위에서 말한 sense로 극한이 존재한다면,

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=l$$

으로 둘 것이다.

 

만약 위와 같을 때 극한이 존재하지 않는다면, 치역을 조금 더 확장시켜서 생각해 보도록 한다.

$$a:\mathbb{N}\to \bar{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup \{\pm \mathrm{\infty }\}$$

(특히 $\bar{\mathbb{R}}$는 compact set이 된다.)

 

위에서 한 작업은 다음과 같다. $\mathbb{R}\hookrightarrow \bar{\mathbb{R}}$을 따라 유도된 다음 map

$$Hom(\mathbb{N},\mathbb{R})\stackrel{{ı}_{\ast }}{⟶}Hom(\mathbb{N},\bar{\mathbb{R}})$$

$$a\mapsto {ı}_{\ast }(a)$$

을 따라 $a$를 새로운 수열로 보는 작업이다.

 

그러면 다음과 같은 말을 conventionally가 아니라 엄밀한 의미에서 사용할 수 있다.

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\mathrm{\infty }$$

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=-\mathrm{\infty }$$ 

(여기서는 무한대로 수렴한다고 할 수 있지만, convention으로는 무한대로 발산한다고 한다.)

 

위의 어떤 case에도 해당되지 않으면, 발산한다고 한다.

 

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연속함수는 수렴하는 수열 $a_n$에 대하여 다음을 항상 만족시키는 함수로 정의할 수 있다.

 

$$limf(a_n)=f(lim{a}_n)$$

 

즉, 함수와 극한을 '교환'할 수 있을 때 $f$를 연속이라고 한다.

 

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수열끼리도 더하고 곱할 수 있다. (나눌 수는 없다.)

 

$$(a+b{)}_n:=a_n+b_n$$

$$(a\cdot b{)}_n:=a_n\cdot b_n$$

 

위에서 극한을 취하면 어떻게 될까?

 

$$lim(a_n+b_n)=lim(a_n)+lim(b_n)$$

$$lim(a_n\cdot b_n)=lim{a}_n\cdot lim{b}_n$$

 

이 되는데, 이는 연속함수의 성질이다. (물론 수렴성 check 필요) 즉, 다음 두 함수

$$+,\times :\mathbb{R}\times \mathbb{R}\to \mathbb{R}$$

가 연속이기 때문에 위와 같은 일이 일어날 수 있다.

 

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수열끼리 대소비교도 가능하다.

 

만약 모든 $n$에 대하여 $a_n\le b_n$라면, 

$$a\le b$$ 라고 쓴다. (등호가 성립하지 않는 경우도 비슷하게 정의한다.)

 

물론, $(2,2,2,2,\cdots )$와 $(0,1,2,3,\cdots )$ 끼리는 대소비교가 불가능하다. 즉, 실수에서의 대소비교와 달리, 아무거나 딱 가져와도 대소비교를 할 수는 없다.

 

이때, 극한 역시 대소관계를 가진다. 즉

 

$$a<b⟹lim{a}_n\le lim{b}_n$$

이다.

 

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수열의 합을 정의할 수 있다. (이를 급수라 한다.)

 

사실 급수를 새로운 수열로 보면, 급수나 수열이나 아무 차이가 없다. (1장 탐구문제 1번)

그럼에도 불구하고 수열의 합을 정의하는 것은, '적분'이론의 첫 발걸음이라고도 볼 수 있다.

 

$$\sum a_n=A$$

 

교양수학에서는 어쩔 수 없이 (르벡 적분을 모르니까) 부분합의 극한으로 수열의 합을 정의한다. 그렇기에 '절대 수렴'이나 '조건 수렴'과 같이 아름답지 못한 말들이 튀어나오는 사단이 일어난다.