11. Algebra

$A$-algebra는 $A$ action이 정의되는 ring이다.

Free algebra (= polynomial algebra)를 정의하기 위해 Monoid, Module 등등을 이용해 정의할 수 있다.

 

$$\{X_1,X_2\}\mapsto \textrm{CMon}\langle X_1,X_2\rangle \mapsto A \textrm{Mod}\langle X_1,X_2\rangle \mapsto A[X_1,X_2]$$

즉, Monoid로 Free Module을 만들고 이를 자연스럽게 Algebra로 확장하면 된다.

 

 

Group Algebra

 

$A[G]$: $G$를 monoid로 보고 $A$ 곱을 정의한다.

 

예시는 아니고 비슷한 거: $L^1(\mathbb R)$은 convolution product 아래 associative non-unital algebra이다. 

 

Formal Dirichlet Series

 

$a_n\in \mathbb C$에 대하여 다음 형식합을 디리클레 급수라 한다.

$$\sum \frac{a_n}{n^s}$$

얘는 자연스럽게 $\mathbb C$ Algebra가 된다.

 

Polynomial Algebra

모르면 간첩. Evaluation map의 개념도 같이 생각할 수 있다.

Universal Property는 이걸 정의하는 방식 (Set -> Free Commutative Monoid -> Monoid algebra)에서 나온다.

 

$$Hom_{A-Alg}(A[X_1,\cdots,X_n],B)\cong Hom_{Mon}(\mathbb N^{(X_1,\cdots,X_n)},B)\cong Hom_{Set}(\{X_1,\cdots, X_n\},B)\cong B^n$$