10. Ring과 Module의 기본적인 성질들

Ring은 덧셈(abelian group)과 곱셈(monoid)이 둘다 정의되어 있어서, 둘이 잘 어울리면 (distribution law) Ring이라 한다.

 

이번에 대수학1 과제를 하다가, $End_{\underline{Set}}(\mathbb Z)$가 Ring이라는 어이없는(...) 가정을 하고 풀다가 점수가 많이 깎였는데, 얘는 덧셈도 있고 곱셈도 잘 정의되지만 두 연산이 잘 어울리지 않아 Ring이 아니다. 덧셈 정의됐고 곱셈 정의 됐으니 ring이다!라고 막연하게 생각해서 망했다..

 

아무튼 Ring morphism도 정의할 수 있고 Cring도 정의할 수 있고, $\mathbb Z$는 initial object가 됨을 확인할 수 있다. 

또 prod, fiber product, limit 등이 존재하고 (Set에서 계산하면 된다.)

 

Subring

 

0,1,+,x를 다 보존하는 subset을 subring이라 한다. 특히 Ring hom의 image는 subring.

 

unit이라 함은 역원이 존재하는 것.

(left) regular element라 함은 $A\overset{a\cdot(-)}\to A$가 injective인 것이다. (참고: ring homo 아니고 module homo로 이해)

 

Division Ring은 $A^\ast=A-\{0\}$인 Ring.

Field는 Commutative division ring.

Domain은 Commutative ring s.t. $A-\{0\}$ is all regular.

 

Module

 

스칼라 곱셈이 있는 Abelian group을 Module이라 한다.

 

Module도 category를 이루고, Product와 Coproduct가 다 잘 존재한다. (Prod는 Set에서, Coprod는 Ab에서)

 

Submodule

 

당연히 부분모듈도 있다. 

 

Ring도 그 자체로 Module인데, Ring의 submodule을 Ideal이라고 한다.

 

Ideal이 generate되는 형태는 $\sum a_i x_i b_i$이다. ($a_i,b_i\in A, x_i\in I$)

 

만약 어떤 Ideal이 한 원소로만 생성되면 그 아이디얼을 Principal이라 한다.

모든 Ideal이 Principle인 Domain은 PID라고 불린다. 

 

$I\leq A, N\leq M$일 때, $IN\leq N$을 생각할 수 있다.

 

Quotient Module

 

적당히 quotient를 취할 수 있다!

 

CRT: $A/\cap I_k \cong \prod A/I_k$