13. UFD

Domain의 원소중에서, Unit도 아니고 Zero도 아니면서, Nonunit으로 decompose되지 않는 얘를 irreducible이라고 한다.

 

$$ab=c \implies a\in A^\ast \textrm{ or }b\in A^\ast$$

 

또한 두 원소가 upto unit으로 동일하다면, 그 두 원소를 Associated라고 한다.

 

Proposition

Prime element is irreducible.

Further, In UFD,

Irreducible element is prime.

 

 

그리고 주어진 원소에 대해 Factorization into irreducibles라는 개념을 생각할 수 있다.

이 방법이 upto associate & permutation 유일하면 Domain을 UFD 라고 한다.

 

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UFD에서는 gcd가 upto associate 잘 정의된다.

 

$$a|b\iff b\in (a)$$를 이용해서 생각해보는 것도 좋다.

 

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다음은 중요한 정리.

PID is UFD