4. Group Action

 

 

 

$\mathcal O_G(x)=Gx$

$G_x\leq G$

$Fix_G(X)=X^G=\{x\in X| Gx=x\}$

 

Group action의 예시:

 

1. G의 Left Coset에 Left Mult로 act.

2.Conjugate Action: $G$에도, $Sub(G)$에도 act한다. 이 때 $^gH=gHg^{-1}$같은 표현법을 사용한다.

 

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Orbit을 만드는 것은 Partition을 만드는 일이다. 또 Group의 성질까지 생각하면 다음 Theorem을 얻는다.

 

Orbit-stabilizer Thm

$$X=\amalg Gx \simeq \amalg G/G_x$$

$$|X|=\sum(G:G_x)$$

 

특히 따름정리로는, $G$가 $G$에 conjugate로 act하는 상황에서

 

Class Formula

$$|G|=|Z(G)|+\sum[G:G_x]$$

이다. $Z(G)$는 $G=G_x$인 $x$들의 모임임을 생각하면 말이 된다.

 

Normalizer

$$N_G(H)=\{g\in G: ^gH=H\}=G_H$$

($H$를 fix하는 subgroup $G_H$)