2. 군

어떤 집합 $X$ 에 이항연산이 주어졌다는 것은 어떤 함수

$$X\times X\to X$$

가 주어졌다 (명시되었다)는 것을 의미한다. 예를 들어 $+,\times$ 등이 이항연산에 해당한다.

 

이 이항연산이 어떤 성질을 가지느냐에 따라 Magma, Semigroup, Monoid, Group이 된다.

 

 

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Magma는 이항연산이 주어진 집합을 지칭한다. 즉 $(X,\cdot )$을 마그마라고 한다.

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Semigroup은 이항연산이 Associative인 Magma이다. 즉,

$$X\times X\times X\to X$$

$$(x,y,z)\mapsto x\cdot y\cdot z$$

를 잘 정의할 수 있다면 $(X,\cdot )$을 Semigroup이라고 부른다.

 

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Monoid는 identity가 있는 Semigroup이다. identity라 함은

$$x\cdot e=e\cdot x=x$$

가 모든 $x$에 대하여 성립하는 원소 $e$이다.

 

이때, identity는 유일하다. 이유는 다음과 같이 간단하다.

$$e^{\prime }=e^{\prime }e=e{e}^{\prime }=e$$

 

만일 $xy=yx$이면 해당 monoid를 commutative라고 부른다.

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Group은 모든 원소에 inverse가 존재하는 Semigroup이다. $g$의 inverse라 함은

$$g^{-1}g=g{g}^{-1}=e$$

를 만족시키는 (유일한) 원소 $g^{-1}$이다. (유일성은 identity의 유일성을 보이는 방법과 유사하다.)

 

Commutative Group은 convention으로 abelian group이라 불린다. (오직 group에서만 abelian이란 말을 사용한다. 심지어 Abelian도 아니고 abelian이다. 수학자들이 아벨을 얼마나 존경(?)하는지 알 수 있는 부분.)

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이제 Homomorphism을 보자. 연산을 respect하는 함수를 homomorphism이라고 부른다. 연산을 respect한다는 말은 상황에 따라 여러가지 의미로 쓰이는데, 여기에서는 $\varphi :X\to Y$가 있을 때

$$\varphi (x)\varphi (y)=\varphi (xy)$$

라는 의미이다.