대학원 과정 (19) 썸네일형 리스트형 0. 대수위상이란? 이거 진짜 엄청 재미있는 과목이다. 위상공간의 Loop Space를 생각하면, 거기서 Group을 정의할 수 있는데 이걸 Fundamental Group이라고 부른다. 근데 이게 진짜 개맛도리인게, 말도 안되는 것들을 증명할 수 있게 해준다. 예를 들면 대수학의 기본정리. (복소함수론에서 리우빌의 정리를 써서 대수학의 기본정리를 증명한다. 근데 이건 진짜 망치로 찍어누르는 느낌? 별 감흥이 없는데, $\pi_1(S^1)=\mathbb Z$를 이용한 증명은 엄청 아름다워서 한번보고 두번보고 계속 곱씹어볼수록 세르토닌이 분비되는 것을 느낄 수 있다.) 그 뿐 아니라 Homology도 계산할 수 있다. 이것도 나름대로 재미있어보이는데, 사실 fundamental group이 너무 재미있어서 여쪽은 재미가 좀 .. 2. 군 어떤 집합 $X$ 에 이항연산이 주어졌다는 것은 어떤 함수 $$X\times X\to X$$ 가 주어졌다 (명시되었다)는 것을 의미한다. 예를 들어 $+, \times$ 등이 이항연산에 해당한다. 이 이항연산이 어떤 성질을 가지느냐에 따라 Magma, Semigroup, Monoid, Group이 된다. Magma는 이항연산이 주어진 집합을 지칭한다. 즉 $(X, \cdot)$을 마그마라고 한다. Semigroup은 이항연산이 Associative인 Magma이다. 즉, $$X\times X\times X\to X$$ $$(x,y,z)\mapsto x\cdot y\cdot z$$ 를 잘 정의할 수 있다면 $(X,\cdot)$을 Semigroup이라고 부른다. Monoid는 identity가 있는 Semi.. 1. 카테고리 Category는 Object, Morphism으로 이루어진 수학자들의 낙원이다. (플라톤의 이데아) $1_X:X\to X$는 항상 존재해야 하는데, 이를 이용하면 두 Object가 isomorphic한지 아닌지를 정의할 수 있다. 카테고리의 예시로는 다음이 있다. $$Set, Top, Grp, Field_p, Rng, \cdots$$ 굳이 이데아에서만 카테고리를 찾을 이유는 없다. Set $A$가 주어졌을 때, inclusion을 morphism으로 하는 category를 만들 수 있다. (그리고 이건 굉장히 유용하다.) 카테고리가 유용한 이유는 나중에 이어서... 이전 1 2 3 다음