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대학원 과정

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3.3 미분의 적분 여기서는

$[a,b]\to \mathbb R$ 만 고려한다. 먼저 Bounded Variation인 function BV function을 탐구한다. BV function의 정의는

$T(a,x) 3.3의 주요 내용은 다음과 같다. 먼저 BV function의 기본적인 성질은 다음과 같다.BV function은 increasing bounded function의 차이다.Increasing bounded function은 a.e. 관점에서 미분가능하다.그러므로 BV function은 a.e. 미분가능하다.만약 BV function이 Continuous일때는,$ \int_a^x F'(x)dx\leq F(b)-F(a)

$등식이 성립하지 않는 예시가 존재한다. (칸토어 르벡 함수)등식이 성립 iff$ F$가 Absol..

2. Integration Theory 1. 적분의 정의 적분을 4가지 Step으로 정의한다. 1. Simple function

$\int \sum a_k\chi_{E_k} = \sum a_km(E_k)$ 2. Bounded function with finite measure support

$\int f = \lim_{n\to\infty}\int\phi_n(x)dx$ 3. Nonnegative function

$\int f dx = \sup_g\int g(x)dx$ (

$0\leq g\leq f$ ,

$g$ bounded & supp on finite measure ) 4. General

$\int f dx = \int f^+dx - \int f^-dx$ (5. Complex valued) $$\int u+iv = \int u +i\..

3.2 Kernel과 Approximate Identity 이전 글에서 보였던 Averaging Function은 Convolution과 비슷하다.

$\begin{align*}\int_{B(x)} f(y)dy&=\int f(y)\chi_{B(x)}(y)dy\\&=\int f(y)\chi_{B(0)}(x-y)dy\\&=(f\ast \chi_{B(0)})(x)\end{align*}$ 여기서 Motivation을 얻어, 다음 Convolution의 성질을 특히 Kernel과 관련지어서 알아보자.

$(f\ast K_\delta)(x)=\int f(x-y)K_\delta(y)dy$ 위에서 Kernel이라 불리는 함수모임

$\{K_\delta: \delta >0\}$ 은 맥락에 따라 다르지만, 핵심적으로 다음을 만족시키는 함수모임이다. $$f\ast K_\delta ..

3. 1 적분의 미분 보통 고등학교 때 배우는 미적분학에서는 적분과 미분이 서로의 역연산임을 다룬다. 이를 다변수 르벡적분의 관점에서다시 서술할 수 있을까? 먼저, 적분하고 미분하는 연산을 다음과 같은 의미로 받아들이자.

$x\mapsto \lim_{m(B)\to 0}\frac{1}{m(B)}\int_B f(x-y)dy$ 위 함수가

$f$ 랑 동일할까? Lebesgue Differentiation Theorem은 적분가능한 함수

$f$ 에 대해 a.e. 관점에서 두 함수가 동일함을 알려준다. (사실 위 연산을 Averaging 이라고도 볼 수 있다.) 앞의 문제를 탐구하기 위해 다음 Hardy-Littlewood Maximal funtion$$f^\ast(x)=\sup_{B}\frac{1}{B}\int_B|f(x-y)|dy..

1. Measure Theory Stein Real Analysis의 내용 1장을 요약한다.1. 외측도

$m_\ast$ 를 다음과 같이 정의한다.

$m_\ast(E)=\inf \sum^\infty |Q_j|$ 여기서

$Q_j$ 들은

$E$ 의 closed rectangular cover이고

$|Q|$ 는 그 넓이. 외측도의 성질은 다음과 같다.

$E_1\subset E_2 \implies m_\ast(E_1)\leq m_\ast (E_2)$

$m_\ast\left(\bigcup^\infty E_i\right)\leq \sum ^\infty m_\ast(E_i)$

$m_\ast(E)=\inf_{E\subset\mathcal O}m_\ast(\mathcal O)$ 아래는 특정 조건에서 Additivity가 성립함을 보여준다. $$d..

13. UFD Domain의 원소중에서, Unit도 아니고 Zero도 아니면서, Nonunit으로 decompose되지 않는 얘를 irreducible이라고 한다.

$ab=c \implies a\in A^\ast \textrm{ or }b\in A^\ast$ 또한 두 원소가 upto unit으로 동일하다면, 그 두 원소를 Associated라고 한다. Proposition Prime element is irreducible. Further, In UFD, Irreducible element is prime. 그리고 주어진 원소에 대해 Factorization into irreducibles라는 개념을 생각할 수 있다. 이 방법이 upto associate & permutation 유일하면 Domain을 UFD 라고..

12. Prime and Maximal Ideals 간단한 정리

$Sub(M/N)\cong Sub_N(M)$ 을 Recall하자. maximal ideal CRing에서 maximal ideal

$\mathfrak m$ 이라 함은

$\mathfrak m$ 이

$Ideal(A)=Sub(A)$ 에서

$A$ 를 제외하고 maximal이라는 뜻이다. 동치조건으로 다음이 있다.

$A/\mathfrak m \neq 0, Ideal(A/\mathfrak m) = (A/\mathfrak m, (0))$

$A/\mathfrak m \textrm{ is a field.}$ Prime ideal CRing의 proper ideal

$\mathfrak p\lneq A$ 에 대하여 다음 3가지가 동치이다 $$xy\in \mathfrak p \implies x\in \mathf..

$A$ -algebra는

$A$ action이 정의되는 ring이다. Free algebra (= polynomial algebra)를 정의하기 위해 Monoid, Module 등등을 이용해 정의할 수 있다.

$\{X_1,X_2\}\mapsto \textrm{CMon}\langle X_1,X_2\rangle \mapsto A \textrm{Mod}\langle X_1,X_2\rangle \mapsto A[X_1,X_2]$ 즉, Monoid로 Free Module을 만들고 이를 자연스럽게 Algebra로 확장하면 된다. Group Algebra

$A[G]$ :

$G$ 를 monoid로 보고

$A$ 곱을 정의한다. 예시는 아니고 비슷한 거:

$L^1(\mathbb R)$ 은 convolution product ..

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