대수학1 중간고사 대비

 

1. $Aut(G)$가 Cyclic이면 $G$는 Abelian인가?

 

 

$G\to Aut(G)$를 먼저 생각 할 수 있다. 얘의 kernel은 $Z(G)$이고, image는 $Inn(G)$다.

 

그러므로 다음 SES를 생각해볼 수 있는데,

 

$$1\to Z(G)\to G\to Inn(G)\to 1$$

 

$Inn(G)$는 가정에 의해 Cyclic이므로 generator $x$를 가진다.

$x$는 lift되어 $g\mapsto x$이라 하면, $G$의 원소는 $zg^k$꼴이다. 얘가 commute하는지 확인.

 

2.$H\leq G$가 finite index를 가질 때, $N\leq H$인 $N\trianglelefteq G$가 존재하는가?

 

있다면, 그런 $N$중에 가장 큰 얘인 $H$의 normal core

$$\bigcap ^gH$$

가 위 성질을 만족해야 할 것이다.

 

$H$가 finite index이므로, 위 intersection은 finite intersection일 것이고 따라서 (적당한 계산을 하면) index가 finite임을 알 수 있다.

3. Semidirect Product

$N\trianglelefteq G$이고 $H\leq G$일 때, $N\cap H=e, NH= G$이면 $G$를 $H, N$의 semidirect product라고 하며 $$G=N\rtimes H$$

로 표기한다. 이 때 $H\cong G/N$이다.

만약 $hn=nh$라면, $G=N\times H$이다.

 

반대로, $N\times H$에다가 항별 연산을 취하는데, $(n,h)(n',h')$에서 $n'$에다가 $h$로 act한 뒤 연산을 하는 group을 

$$N\rtimes_\phi H$$라고 한다. 자연스럽게 $N\trianglelefteq G, H\leq G$가 되며 $h$의 action은 $G$에서 conjugate action이 된다.

 

4. $p^2$ order는 abelian, $pq$ order는 solvable, $2pq$ order는 solvable, $p^2q$ order도 solvable.

$G$가 $G$에 conjugate로 act할 때의 orbit decomposition을 생각해본다면

 

$$|G|=|Z(G)|+\sum \frac{|G|}{|G_x|}$$

형태이다. 만약 $G_x=G$라면 $x\in Z(G)$니까 예외. 그러니까 $|Z(G)|$는 $p$로 나눠진다.

 

$|Z(G)|=p$이면, $G/Z(G)\cong \mathbb Z/p$이므로 $G$는 abelian이다.

$|Z(G)|=p^2$이면, $G=Z(G)$이다.

 

$pq$나 $p^2q$ 같은 경우는 sylow 잘 적용하다보면 된다. 

5. $G$가 finite group일 때, $\cup ^gH\subsetneq G$임을 보이라.

$G$가 subgroup들의 모임에 conj로 act할 때, 이 action의 stabilizer는 $N_G(H)$이고, 따라서 conj subgroup들의 개수는 $G/N_G(H)$의 order와 같다. 

그러므로 위 Union의 원소 수는 많아봐야

$$|G/N_G(H)|(|H|-1)+1$$

이다. 여기서 $H\leq N_G(H)$이므로 계산하면 됨.

6. $G$가 $S$에 transitively하게 act한다. 이 때 $S$를 고정시키지 않는 $x\in G$가 있음을 보이라.

$|S|=|G|/|G_s|$이므로, $\cap G_s$는 커봐야 $1+|S|(|G_s|-1)$인데 얘는 $G$보다 작다.  

7. $G$가 $S$에 act한다고 하자. $F(g)$를 $g$가 고정하는 $S$의 원소의 수라고 정의하자. 이때

$$\frac{S}{G}=\frac{1}{G}\sum_{g\in G} F(g)$$

를 보이라.

얘는 $G\times S$의 부분집합 중 $gs=s$인 집합의 order를 생각하면 된다. 얘는 두가지 방법으로 계산되는데, 

$$\sum_{g\in G}F(g)$$

$$\sum_{s\in S}|G_s|$$

얘네 둘이를 같다고 하고 식 전개를 하다보면 원하는 바가 보여진다.

7. Cyclic type $(k_1, \cdots, k_m)$을 갖는 $S_n$의 원소 수는?

$|^{S_n}\sigma|=\frac{n!}{|Stab_{S_n}(\sigma)|}$인데, $i$ cycle들의 수를 $n_i$라 할 때

각 $j$번째 $i$cycle의 첫번째 원소가 $i$cycle의 다른 원소로 갈 때마다 $\tau$가 정해지므로

$$\prod^k i^{n_i}\cdot n_i!$$

가 $|Stab|$이다.

 

(서술을 개떡같이 했다..)

8. $A_n\to G$는 injective인 것 잘 쓰자.

9. $A$ 대신 $A/B$ 써보기도 하고

10. Profinite completion 정의 다시 알아봐놓고. $\hat \mathbb Z\cong \prod \mathbb Z_p$

11. Residually finite라고 함은 임의의 $0$이 아닌 $g\in G$마다 $g$를 포함하지 않는 cofinite normal subgroup이 있는 Group이다. 얘는 $G\to \hat G$가 injective일 때 일어나는 일이다.

 

12. $G$가 group이라 하고 $F: G-set\to Set$을 forgetful functor라고 하자. $NatAut(F)\cong G$를 보이라.

$G\to NatAut(F)$는 당연하게 잘 정의된다. ($g$가 act하는 상황마다 NatAut(F)가 하나 정의된다.)

이게 injective이고 surjective인 걸 보이면 된다. 근데 언제나 trivial act하는 얘가 사실 $e$밖에 없으니 injective는 확인되고, $G\to G$의 $F{\implies}F$에 의한 상을 보면 surjectivity도 확인된다.