1. 가 Cyclic이면 는 Abelian인가?
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를 먼저 생각 할 수 있다. 얘의 kernel은 이고, image는 다.
그러므로 다음 SES를 생각해볼 수 있는데,
는 가정에 의해 Cyclic이므로 generator 를 가진다.
는 lift되어 이라 하면, 의 원소는 꼴이다. 얘가 commute하는지 확인.
2.가 finite index를 가질 때, 인 가 존재하는가?
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있다면, 그런 중에 가장 큰 얘인 의 normal core
가 위 성질을 만족해야 할 것이다.
가 finite index이므로, 위 intersection은 finite intersection일 것이고 따라서 (적당한 계산을 하면) index가 finite임을 알 수 있다.
3. Semidirect Product
이고 일 때, 이면 를 의 semidirect product라고 하며
로 표기한다. 이 때 이다.
만약 라면, 이다.
반대로, 에다가 항별 연산을 취하는데, 에서 에다가 로 act한 뒤 연산을 하는 group을
라고 한다. 자연스럽게 가 되며 의 action은 에서 conjugate action이 된다.
4. order는 abelian, order는 solvable, order는 solvable, order도 solvable.
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가 에 conjugate로 act할 때의 orbit decomposition을 생각해본다면
형태이다. 만약 라면 니까 예외. 그러니까 는 로 나눠진다.
이면, 이므로 는 abelian이다.
이면, 이다.
나 같은 경우는 sylow 잘 적용하다보면 된다.
5. 가 finite group일 때, 임을 보이라.
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가 subgroup들의 모임에 conj로 act할 때, 이 action의 stabilizer는 이고, 따라서 conj subgroup들의 개수는 의 order와 같다.
그러므로 위 Union의 원소 수는 많아봐야
이다. 여기서 이므로 계산하면 됨.
6. 가 에 transitively하게 act한다. 이 때 를 고정시키지 않는 가 있음을 보이라.
7. 가 에 act한다고 하자. 를 가 고정하는 의 원소의 수라고 정의하자. 이때
를 보이라.
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얘는 의 부분집합 중 인 집합의 order를 생각하면 된다. 얘는 두가지 방법으로 계산되는데,
얘네 둘이를 같다고 하고 식 전개를 하다보면 원하는 바가 보여진다.
7. Cyclic type 을 갖는 의 원소 수는?
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인데, cycle들의 수를 라 할 때
각 번째 cycle의 첫번째 원소가 cycle의 다른 원소로 갈 때마다 가 정해지므로
가 이다.
(서술을 개떡같이 했다..)
8. 는 injective인 것 잘 쓰자.
9. 대신 써보기도 하고
10. Profinite completion 정의 다시 알아봐놓고.
11. Residually finite라고 함은 임의의 이 아닌 마다 를 포함하지 않는 cofinite normal subgroup이 있는 Group이다. 얘는 가 injective일 때 일어나는 일이다.
12. 가 group이라 하고 을 forgetful functor라고 하자. 를 보이라.
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는 당연하게 잘 정의된다. (가 act하는 상황마다 NatAut(F)가 하나 정의된다.)
이게 injective이고 surjective인 걸 보이면 된다. 근데 언제나 trivial act하는 얘가 사실 밖에 없으니 injective는 확인되고, 의 에 의한 상을 보면 surjectivity도 확인된다.