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기타/시험 관련

대수학1 중간고사 대비

 

1. Aut(G)가 Cyclic이면 G는 Abelian인가?

 

 

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GAut(G)를 먼저 생각 할 수 있다. 얘의 kernel은 Z(G)이고, image는 Inn(G)다.

 

그러므로 다음 SES를 생각해볼 수 있는데,

 

1Z(G)GInn(G)1

 

Inn(G)는 가정에 의해 Cyclic이므로 generator x를 가진다.

x는 lift되어 gx이라 하면, G의 원소는 zgk꼴이다. 얘가 commute하는지 확인.

 

2.HG가 finite index를 가질 때, NHNG가 존재하는가?

 

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있다면, 그런 N중에 가장 큰 얘인 H의 normal core

gH

가 위 성질을 만족해야 할 것이다.

 

H가 finite index이므로, 위 intersection은 finite intersection일 것이고 따라서 (적당한 계산을 하면) index가 finite임을 알 수 있다.

3. Semidirect Product

NG이고 HG일 때, NH=e,NH=G이면 GH,N의 semidirect product라고 하며 G=NH

로 표기한다. 이 때 HG/N이다.

만약 hn=nh라면, G=N×H이다.

 

반대로, N×H에다가 항별 연산을 취하는데, (n,h)(n,h)에서 n에다가 h로 act한 뒤 연산을 하는 group을 

NϕH라고 한다. 자연스럽게 NG,HG가 되며 h의 action은 G에서 conjugate action이 된다.

 

4. p2 order는 abelian, pq order는 solvable, 2pq order는 solvable, p2q order도 solvable.

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GG에 conjugate로 act할 때의 orbit decomposition을 생각해본다면

 

|G|=|Z(G)|+|G||Gx|

형태이다. 만약 Gx=G라면 xZ(G)니까 예외. 그러니까 |Z(G)|p로 나눠진다.

 

|Z(G)|=p이면, G/Z(G)Z/p이므로 G는 abelian이다.

|Z(G)|=p2이면, G=Z(G)이다.

 

pqp2q 같은 경우는 sylow 잘 적용하다보면 된다. 

5. G가 finite group일 때, gHG임을 보이라.

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G가 subgroup들의 모임에 conj로 act할 때, 이 action의 stabilizer는 NG(H)이고, 따라서 conj subgroup들의 개수는 G/NG(H)의 order와 같다. 

그러므로 위 Union의 원소 수는 많아봐야

|G/NG(H)|(|H|1)+1

이다. 여기서 HNG(H)이므로 계산하면 됨.

6. GS에 transitively하게 act한다. 이 때 S를 고정시키지 않는 xG가 있음을 보이라.

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|S|=|G|/|Gs|이므로, Gs는 커봐야 1+|S|(|Gs|1)인데 얘는 G보다 작다.  

7. GS에 act한다고 하자. F(g)g가 고정하는 S의 원소의 수라고 정의하자. 이때

SG=1GgGF(g)

를 보이라.

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얘는 G×S의 부분집합 중 gs=s인 집합의 order를 생각하면 된다. 얘는 두가지 방법으로 계산되는데, 

gGF(g)

sS|Gs|

얘네 둘이를 같다고 하고 식 전개를 하다보면 원하는 바가 보여진다.

7. Cyclic type (k1,,km)을 갖는 Sn의 원소 수는?

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|Snσ|=n!|StabSn(σ)|인데, i cycle들의 수를 ni라 할 때

j번째 icycle의 첫번째 원소가 icycle의 다른 원소로 갈 때마다 τ가 정해지므로

kinini!

|Stab|이다.

 

(서술을 개떡같이 했다..)

8. AnG는 injective인 것 잘 쓰자.

9. A 대신 A/B 써보기도 하고

10. Profinite completion 정의 다시 알아봐놓고. Missing argument for \mathbb

11. Residually finite라고 함은 임의의 0이 아닌 gG마다 g를 포함하지 않는 cofinite normal subgroup이 있는 Group이다. 얘는 GˆG가 injective일 때 일어나는 일이다.

 

12. G가 group이라 하고 F:GsetSet을 forgetful functor라고 하자. NatAut(F)G를 보이라.

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GNatAut(F)는 당연하게 잘 정의된다. (g가 act하는 상황마다 NatAut(F)가 하나 정의된다.)

이게 injective이고 surjective인 걸 보이면 된다. 근데 언제나 trivial act하는 얘가 사실 e밖에 없으니 injective는 확인되고, GGFF에 의한 상을 보면 surjectivity도 확인된다.

 

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