해석학1 중간고사1 복기

Stein Real Analysis Chapter 1이 시험범위였고, 사전에 해당 chapter의 exercise 안에서만 문제를 내겠다고 선언하신 교수님. 사실 Chapter 1이 워낙 쉽기도 한데, 문제 List까지 알려주었으니 시험은 당연히 실수하지 않기 싸움으로 변질됐다..

 

그런데 스케쥴 조절 실패로 전날에 밤을 새버려서 맨정신으로 보지 못하고, 대충 그럴싸하게 써낸 뒤 금메달로 빠져나왔다.

 

...

 

통계량이 나왔는데, 실수 한번하면 95점=Q3, 실수 2번하면 90점=Q2.

 

실수 2번한 나는 Q2를...!! 맞게 되었다.

 

한개는 정말 어이없는 오탈자 수준의 실수였고, 다른 하나는 치명적인 실수!!라서 여기에다 써본다.

 

해석개론 1? 2? 쯤에 나오는 내용인데, 다음 명제를 참이라고 생각한 나의 오류이다.

 

$\lim_{m\to\infty} a_{nm}\to b_n$이고, $\lim b_n\to c$라면, $\lim a_{nn}=c$일 것이다.(?)

 

 

간단한 실수를 해버렸다. 수열 $\alpha$의 수렴값은 $\alpha_n$의 값과는 무관하다. 마찬가지로, $m$에 대한 수열 $a_{nm}$의 수렴값은 그 $n$번째 값 $a_{nn}$과는 하등 무관하다.

 

수열의 수렴성은 $n \leftrightarrow \frac{1}{n}$을 생각해서 

$$\tilde a:\left\{\frac{1}{n}:n\in\mathbb N\right\}\to \mathbb R$$

$$\tilde a\left(\frac{1}{n}\right)=a_n$$

의 $0$에서의 극한값에 관한 문제와 동일한 의미이다. 마찬가지로, 이중수열의 수렴성은 

 

$$\tilde a: \left\{ \frac{1}{n} \right\} \times \left\{ \frac{1}{n} \right\}\to \mathbb R$$

$$\tilde a\left(\frac{1}{n},\frac{1}{m}\right)=a_{nm}$$

의 $(0,0)$에서의 극한값에 관한 문제이다.

 

$\tilde a$가 $(0,0)$에서 연속이어야만 어떤 식으로 diagonal sequence를 잡더라도 위 명제가 참인데, 이변수함수의 연속성은 미적분학2에서 닳고 닳도록 배웠건만 이를 여기에 바로 적용하지 못한 것은 내가 수학을 야매로 배우고 있기 때문이라는 방증일 것이다.

 

열심히 공부해야겠다.