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3. 거듭제곱급수 수열

$a=(a_0,a_1,a_2,a_3,\cdots)$ 가 주어졌을 때, 다음 함수를 생각할 수 있다.

$\sum a_nx^n=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\cdots$ 이를 거듭제곱급수라고 부른다. 혹은 '무한차수다항식'으로도 이해할 수 있다. 사실 거듭제곱급수를 함수라고 부르기엔 민망하다. 실제로 아니기도 하고, (놀랍게도, 다항식조차 함수가 아니다.) 무엇보다 수렴하는

$x$ 의 범위를 잘 조절해주어야 하기에 정의역이 무엇인지 확실하게 해주어야 한다. 예를 들면,

$\sum n! x^n$ 은

$x=0$ 이 아니고서야 수렴하지 않는 반면에,

$\sum \frac{x^n}{n!}$ 은 모든

$x$ 에 대하여 수렴한다. 즉, 위 두 거듭제곱급수를 함수로 바라본다면 각각의 정의역은 $$ \sum n..

2. 급수 급수가 수렴하는지 아닌지 여부는 중요한 문제이다. (일반적으로, 적분이론에서도 마찬가지이다.) 이를 판단할 수 있는 방법은 몇 가지가 존재한다. 비교판정법은 다음과 같다.

$0\leq a\leq b \implies \sum a\leq \sum b$ 거듭제곱근 판정법은 다음과 같다.

$0\leq a_n$ 와 어떤 양수 $\epsilon

1. 수열 수열은 정의역이

$\mathbb N$ 이고 치역이

$\mathbb R$ 인 함수이다.

$\mathbb N$ 이 가지는 위상적 성질은 없다. (이산적이다.) 하지만

$\mathbb N$ 을 순서집합으로 바라보았을 때, 그 극한을

$\infty$ 로 생각해 본다면, 수열의 극한을 정의할 수 있을 것이다. 만약 위에서 말한 sense로 극한이 존재한다면,

$\lim_{n\to \infty}a_n=l$ 으로 둘 것이다. 만약 위와 같을 때 극한이 존재하지 않는다면, 치역을 조금 더 확장시켜서 생각해 보도록 한다.

$a: \mathbb N\to \overline{\mathbb R}=\mathbb R\cup \{\pm\infty\}$ (특히

$\overline{\mathbb R}$ 는 compact set이 된다.) ..

미적분학을 복습하면서.. 미적분학은 꽤나 중요한 과목이다. 수학을 공부하는 사람에게는 오히려 역설적으로 중요하지 않다고 느낄 수도 있는데, 심화된 수학 개념들의 모티베이션들이 많이 담겨있으므로 더욱 중요하게 여겨야 한다. (특히 김홍종 교수님의 노력 덕분에 여러 모티베이션이 녹아든 책으로 공부할 수 있었다.) 미적분학을 복습하는 이유로는 몇가지가 있다. 내가 곧 학부 생활을 청산하고 대학원에 갈 것이기 때문에, 학부생을 마무리 하는 겸 그동안 배웠던 수학들을 모두 다시 음미해보고자 하는 것이 첫 번째 이유이며, 또 조교 활동을 원할하게 하기 위함이 두 번째 이유이다. (그동안 튜터링을 항상 해왔음에도 맨날 까먹고...) 마지막으로, 글의 머리에서도 썼듯이, 특히 김홍종 교수님의 책은 전공 수학의 많은 모티베이션을 담고 있기에 복..

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