분류 전체보기 (44) 썸네일형 리스트형 0. 위상 수학이란? 위상수학이라 하면 보통 사람들이 생각하는 것이: 도넛과 머그컵은 똑같다. 뭐 비슷한 걸 한다. 정확하게는 이 점과 저 점이 '가깝다'는걸 어떻게 일반적으로 정의할 것인지를 탐구하는 과목이라고 생각하면 된다. 이를 위해서 '열린 집합'이라는 개념을 가져오고, 열린 집합들의 모임이 어떤 성질들을 가질 때 공간이 아름다워지는지를 공부한다. 연속함수는 직관적으로 '가까운 두 점을 가까운 두 점으로 보낸다'는 의미를 가지고 있어서, 열린 집합의 개념만으로 연속함수를 정의할 수 있다. 이렇게 연속함수가 가지는 성질 역시 탐구하게 된다. 그 다음에 '위상 다양체'를 다뤄야 할 듯 하다. 사실 위상수학개론1을 안들어서, 이쪽 개념들이 많이 약하다.ㅠㅠㅠ 그래서 더더욱 복습을 해야만 하는 과목. 목표는 munkres 기.. 0. 복소함수론이란? 복소수 $\mathbb C$도 완비체다! 그래서 당연히 미분을 해볼 수 있을거다. 그런데 복소수의 미분은 말도 안되게 아름다운 성질들을 가지고 있어서, (진짜진짜진짜 너무 아름다워서) 배우지 아니할 수 없다. holomorphic 조건만 있어도 말도 안되게 아름다운 성질을 가지게 되고, 기하학적인 성질들까지 탐구할 수 있다. 코시정리, 유수정리를 배우는 것이 1학기 중간고사까지의 내용이다. 그런데, 기말고사에선 엄한 곳에 시간을 때워서... (푸리에) 재미가 반감된다. (그래서 복소2 안들음 아 ㅋㅋ) 암튼, 뭔가 더 추가적인 내용들을 들어야 재미있을 것 같은데, (복소다양체라던가...) 뭔가 좀 아쉽게 끝난 느낌. 그래도 중간고사 내용까진 복습하는게 목적이다. 0. 현대대수학이란? 현대대수학은 Group과 Field를 공부하는 과목이다. Ring은 어디있냐고? 학부에서 Ring은 Field를 정의하기 위한 발판 수준밖에 안된다. (나중에 Commutative Ring Theory를 접하면 그제서야 학부에서 배운 ring은 아무것도 아니였구나를 깨달으며 머리가 심히 깨지게 된다.) 1학기때는 Group, 2학기때는 Field와 Field에서 나타는 Group 구조를 설명하는 Galois Theory를 배운다. Group은 대칭을 설명하는 아주 강력한 언어이다. 그 중요성은 이루 말할 수 없다. 비록 추상적이지만 많은 정보를 주니, 수학을 공부하는 사람이라면 당연히 알아야만하는 언어다. Field는 사칙연산을 할 수 있는 집합이고, 이걸 배우는 이유는 방정식 ($ax^2+bx+c=0$.. 0. 선형대수학이란? 선형대수학이란 벡터공간에 대한 공부이다. 첫 번째 주제는 유한차원벡터공간과 선형사상의 기본적인 성질이다. Rank Theorem을 배우는 것이 목표. 두 번째 주제는 [선대군]에서 가장 어려운 파트인데, $T\in Aut(V)$가 $V$에 act하는 상황에서 $V$를 어떤 식으로 표현할 수 있을지를 다루는 부분이다. 지금 생각하면 Fundamental Theorem of Finitely Generated Module over P.I.D라는 굉장히 강하고 어려운 정리를 알게 모르게 증명하면서 사용하는데, 당연히 어려울 수 밖에 없다. $V$를 $T$에 따라 decompose하면 Jordan canonical form을 얻는다. 세 번째 주제는 $V$에 내적 구조를 줄 때 나타나는 성질을 공부하는 것이다. .. 0. 해석개론이란? 고등학교 때, 혹은 더 넘어서 교양수학 때 사용하는 '극한'이라는 개념을 엄밀하게 정의하고 활용하기 위한 과목이라고 볼 수 있다. 이를 이해하기 위해선 실수 $\mathbb R$이 무엇인지를 정확하게 알아야 한다. (완비순서체 + 위상) 그 뒤 극한을 정의하면, 이 극한을 이용하여 연속, 미분, 적분의 성질을 다시 확인해볼 수 있다. 여기까지가 해석개론1의 내용이다. 해석개론2의 내용은 책마다 다른데, 내가 배웠던 김김계 기준으로는 함수열과 함수공간에 대해 다룬다. 특히 푸리에 급수를 이용하여 수열 공간과 함수 공간의 관계를 파악하는 것을 하나의 Topic으로 삼는다. 음 근데 언제 다시 복습하지? 복습이 목적이니까, 저런 Topic 같은건 살짝 뛰어넘어도 될 듯 하다. 4월 셋째 주, 블로그 시작.. 사실 블로그를 남이 보라고 쓴다기 보단, 그냥 공부하고 있는 거 올려두는 정도로 정리한다고 보면 될 것 같다. 지금 갑자기 든 생각: 졸업을 늦추고 싶다... Q. 왜 안늦춰요? A. 늦추고 싶다는 말은 학부 생활을 더 하고 싶다는 이야기인데, 사실 과거로 돌아가고 싶다는 의미가 더 강한 듯? 지금 졸업을 미룬다고 해서 애로사항이 생기진 않는데, 떠나가야(나아가야) 할 때가 언제인지를 알았다면 떠나가야지(나아가야지). Q. 학부생활에 후회가 있나요? A. 제대로 못논것? 더 많은 기회를 얻을 수 있었던 것? 더 열심히 살았다면 달라졌을까 하는 후회? Q. 아니 시험기간 아니에요? A. ㅇㅇ. 큰일났다... 사실 과제도 엄청 밀려있음. 2. 군 어떤 집합 $X$ 에 이항연산이 주어졌다는 것은 어떤 함수 $$X\times X\to X$$ 가 주어졌다 (명시되었다)는 것을 의미한다. 예를 들어 $+, \times$ 등이 이항연산에 해당한다. 이 이항연산이 어떤 성질을 가지느냐에 따라 Magma, Semigroup, Monoid, Group이 된다. Magma는 이항연산이 주어진 집합을 지칭한다. 즉 $(X, \cdot)$을 마그마라고 한다. Semigroup은 이항연산이 Associative인 Magma이다. 즉, $$X\times X\times X\to X$$ $$(x,y,z)\mapsto x\cdot y\cdot z$$ 를 잘 정의할 수 있다면 $(X,\cdot)$을 Semigroup이라고 부른다. Monoid는 identity가 있는 Semi.. 1. 카테고리 Category는 Object, Morphism으로 이루어진 수학자들의 낙원이다. (플라톤의 이데아) $1_X:X\to X$는 항상 존재해야 하는데, 이를 이용하면 두 Object가 isomorphic한지 아닌지를 정의할 수 있다. 카테고리의 예시로는 다음이 있다. $$Set, Top, Grp, Field_p, Rng, \cdots$$ 굳이 이데아에서만 카테고리를 찾을 이유는 없다. Set $A$가 주어졌을 때, inclusion을 morphism으로 하는 category를 만들 수 있다. (그리고 이건 굉장히 유용하다.) 카테고리가 유용한 이유는 나중에 이어서... 이전 1 2 3 4 5 6 다음