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미다체 중간고사 복기 그냥.. 너무 쉬웠다. 정의만 알면 풀 수 있는 수준으로 나왔었는데, 기초적인 실수를 하나 하여 글을 남긴다. 함수

$X\to Y$ 가 주어졌을 때, 다음 함수가 잘 유도될 조건은?

$X_0/\sim_X\to Y_0/\sim_Y$ (단,

$X_0\subset X, Y_0\subset Y$ ) 이렇게 보면 당연한데... 그야

$x_1\sim_X x_2 \implies f(x_1)=f(x_2)$ 와

$f(X_0)\subset Y_0$ 이다. 내가 실수한 문제는

$\mathbb{RP^2}\to \mathbb{RP^3}$ 를

$\mathbb R^3\to \mathbb R^4$ 의 형태로 줘놓고 이 함수가 잘 정의되어 있는지를 물어봤는데,

$x_1\sim x_2 \implies f(x_1)=f(x_2)$ 만 보..

10. Ring과 Module의 기본적인 성질들 Ring은 덧셈(abelian group)과 곱셈(monoid)이 둘다 정의되어 있어서, 둘이 잘 어울리면 (distribution law) Ring이라 한다. 이번에 대수학1 과제를 하다가,

$End_{\underline{Set}}(\mathbb Z)$ 가 Ring이라는 어이없는(...) 가정을 하고 풀다가 점수가 많이 깎였는데, 얘는 덧셈도 있고 곱셈도 잘 정의되지만 두 연산이 잘 어울리지 않아 Ring이 아니다. 덧셈 정의됐고 곱셈 정의 됐으니 ring이다!라고 막연하게 생각해서 망했다.. 아무튼 Ring morphism도 정의할 수 있고 Cring도 정의할 수 있고,

$\mathbb Z$ 는 initial object가 됨을 확인할 수 있다. 또 prod, fiber product, limit 등이 ..

9. More on Category Theory Hom functor

$A\to B$ 가 있을 때,

$A'\overset{\phi}\to A$ 혹은

$B\overset{\psi}\to B'$ 를 통해

$A'\to A\to B\to B'$ 를 생각할 수 있다. 이건 Functor로 이해될 수 있고, Left exact하다. Inverse limit 다음 filterated system

$\cdots \to G_1 \to G_2 \to G_3 \to G_4\to \cdots$ 에서 ''최초의 원인'' 을

$\underset\leftarrow\lim G_i$ 라 하고 Limit=Inverse Limit=Projective Limit이라 한다. 이 때 $$Hom(H, \underset\leftarrow\lim G_i)\cong \underset..

8. Additional Topics (...) Dual Group 아벨군

$\mathbb {Z, Q}$ 에 대하여

$\mathbb Q/\mathbb Z$ 는 Abelian Torsion group이다. 이 때

$\mathbb Q/\mathbb Z[m]=\frac{1}{m}\mathbb Z/\mathbb Z$ 이다. 여기에 아이디어를 착안하여 (?)

$\underline{Ab}_m$ :

$A[m]=A$ 인 Abelian group들. 이 때

$(-)_m$ 은 functor로서 이해될 수 있다.

$A\in \underline{Ab}_m$ 의 dual group을

$A^\wedge:=Hom_{\underline{Ab}}(A,\frac{1}{m}\mathbb Z/\mathbb Z)\in \underline{Ab}_m$ 으로 정의한다. 또한, $A\overset{\p..

7. 유한생성 가환군의 기본정리 Abelian group의 Family

$\{A_\alpha\}_\alpha$ 에 대하여 Direct Sum을 정의할 수 있다.

$\bigoplus A_\alpha$ 얘는 inclusion과 함께 존재하는 Universal한 Object이다. 만일

$A_\alpha\leq A$ 이면,

$\bigoplus A_\alpha \to A$ 가 정의된다. 특히 이 morphism이 isomorphic할 경우는

$A=A_1+A_2, A_1\cap A_2 = 0$ 일 경우이다. Abelian Group은

$\mathbb Z$ module이기도 하다. 그러므로 Free abelian group을 Free

$\mathbb Z$ module로 둘 수 있다. Free Group $S \hookrightarrow \mathbb ..

6. Symmetric Groups 1. Cycle들은 유일하게 cycle decomposition이 된다. 2. 따라서 cycle type이 정해진다. 3.

$S_n$ 은 transposition들로 생성된다. 4. Sign을 잘 정의할 수 있다:

$S_n$ 이

$Hom(\mathbb Z^n, \mathbb Z)$ 에 act하는데, (

$(\sigma\cdot f)(x)= f(\sigma^*(x))$ ) 특히 $\Delta(x_1,\cdots,x_n)=\prod_{i

5. Sylow Theorem

$G$ 의 exponent를

$exp(G):=lcm \{|x|:x\in G\}$ 로 정의한다. 이 때 다음 lemma가 성립한다. Lemma

$G$ 가 finite abelian이면,

$|G| | exp(G)^a$ for some

$a\in \mathbb N$ . 증명은

$|G|$ 에 대한 Induction을 사용한다.

$|G|=|G/\langle x\rangle|\cdot |x|$ 을 이용하면 증명할 수 있다. Corollary 만약

$G$ 가 finite abelian이고

$p||G|$ 이면, Order

$p$ 인 subgroup이 존재한다. 증명은

$p\;|\;\left|G\right|\;|\;exp(G)^a$ 에서

$p\mid\;|x|$ for some

$x\in G$ 임으로부터 나온다. Group의 ord..

4. Group Action

$\mathcal O_G(x)=Gx$

$G_x\leq G$

$Fix_G(X)=X^G=\{x\in X| Gx=x\}$ Group action의 예시: 1. G의 Left Coset에 Left Mult로 act. 2.Conjugate Action:

$G$ 에도,

$Sub(G)$ 에도 act한다. 이 때

$^gH=gHg^{-1}$ 같은 표현법을 사용한다. Orbit을 만드는 것은 Partition을 만드는 일이다. 또 Group의 성질까지 생각하면 다음 Theorem을 얻는다. Orbit-stabilizer Thm

$X=\amalg Gx \simeq \amalg G/G_x$

$|X|=\sum(G:G_x)$ 특히 따름정리로는,

$G$ 가

$G$ 에 conjugate로 act하는 상황에서 Class Formula ..

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