분류 전체보기 (44) 썸네일형 리스트형 미다체 중간고사 복기 그냥.. 너무 쉬웠다. 정의만 알면 풀 수 있는 수준으로 나왔었는데, 기초적인 실수를 하나 하여 글을 남긴다. 함수 $$X\to Y$$ 가 주어졌을 때, 다음 함수가 잘 유도될 조건은? $$X_0/\sim_X\to Y_0/\sim_Y$$ (단, $X_0\subset X, Y_0\subset Y$) 이렇게 보면 당연한데... 그야 $x_1\sim_X x_2 \implies f(x_1)=f(x_2)$와 $f(X_0)\subset Y_0$이다. 내가 실수한 문제는 $$\mathbb{RP^2}\to \mathbb{RP^3}$$ 를 $\mathbb R^3\to \mathbb R^4$의 형태로 줘놓고 이 함수가 잘 정의되어 있는지를 물어봤는데, $x_1\sim x_2 \implies f(x_1)=f(x_2)$만 보.. 10. Ring과 Module의 기본적인 성질들 Ring은 덧셈(abelian group)과 곱셈(monoid)이 둘다 정의되어 있어서, 둘이 잘 어울리면 (distribution law) Ring이라 한다. 이번에 대수학1 과제를 하다가, $End_{\underline{Set}}(\mathbb Z)$가 Ring이라는 어이없는(...) 가정을 하고 풀다가 점수가 많이 깎였는데, 얘는 덧셈도 있고 곱셈도 잘 정의되지만 두 연산이 잘 어울리지 않아 Ring이 아니다. 덧셈 정의됐고 곱셈 정의 됐으니 ring이다!라고 막연하게 생각해서 망했다.. 아무튼 Ring morphism도 정의할 수 있고 Cring도 정의할 수 있고, $\mathbb Z$는 initial object가 됨을 확인할 수 있다. 또 prod, fiber product, limit 등이 .. 9. More on Category Theory Hom functor $$A\to B$$가 있을 때, $$A'\overset{\phi}\to A$$ 혹은 $$B\overset{\psi}\to B'$$ 를 통해 $$A'\to A\to B\to B'$$ 를 생각할 수 있다. 이건 Functor로 이해될 수 있고, Left exact하다. Inverse limit 다음 filterated system $$\cdots \to G_1 \to G_2 \to G_3 \to G_4\to \cdots$$ 에서 ''최초의 원인'' 을 $\underset\leftarrow\lim G_i$라 하고 Limit=Inverse Limit=Projective Limit이라 한다. 이 때 $$Hom(H, \underset\leftarrow\lim G_i)\cong \underset.. 8. Additional Topics (...) Dual Group 아벨군 $\mathbb {Z, Q}$에 대하여 $\mathbb Q/\mathbb Z$는 Abelian Torsion group이다. 이 때 $$\mathbb Q/\mathbb Z[m]=\frac{1}{m}\mathbb Z/\mathbb Z$$ 이다. 여기에 아이디어를 착안하여 (?) $\underline{Ab}_m$: $A[m]=A$인 Abelian group들. 이 때 $(-)_m$은 functor로서 이해될 수 있다. $A\in \underline{Ab}_m$의 dual group을 $A^\wedge:=Hom_{\underline{Ab}}(A,\frac{1}{m}\mathbb Z/\mathbb Z)\in \underline{Ab}_m$으로 정의한다. 또한, $A\overset{\p.. 7. 유한생성 가환군의 기본정리 Abelian group의 Family $\{A_\alpha\}_\alpha$에 대하여 Direct Sum을 정의할 수 있다. $$\bigoplus A_\alpha$$ 얘는 inclusion과 함께 존재하는 Universal한 Object이다. 만일 $A_\alpha\leq A$이면, $\bigoplus A_\alpha \to A$가 정의된다. 특히 이 morphism이 isomorphic할 경우는 $A=A_1+A_2, A_1\cap A_2 = 0$일 경우이다. Abelian Group은 $\mathbb Z$ module이기도 하다. 그러므로 Free abelian group을 Free $\mathbb Z$ module로 둘 수 있다. Free Group $S \hookrightarrow \mathbb .. 6. Symmetric Groups 1. Cycle들은 유일하게 cycle decomposition이 된다. 2. 따라서 cycle type이 정해진다. 3. $S_n$은 transposition들로 생성된다. 4. Sign을 잘 정의할 수 있다: $S_n$이 $Hom(\mathbb Z^n, \mathbb Z)$에 act하는데, ($(\sigma\cdot f)(x)= f(\sigma^*(x))$) 특히 $\Delta(x_1,\cdots,x_n)=\prod_{i 5. Sylow Theorem $G$의 exponent를 $$exp(G):=lcm \{|x|:x\in G\}$$ 로 정의한다. 이 때 다음 lemma가 성립한다. Lemma $G$가 finite abelian이면, $$|G| | exp(G)^a$$ for some $a\in \mathbb N$. 증명은 $|G|$에 대한 Induction을 사용한다. $|G|=|G/\langle x\rangle|\cdot |x|$을 이용하면 증명할 수 있다. Corollary 만약 $G$가 finite abelian이고 $p||G|$이면, Order $p$인 subgroup이 존재한다. 증명은 $p\;|\;\left|G\right|\;|\;exp(G)^a$에서 $p\mid\;|x|$ for some $x\in G$임으로부터 나온다. Group의 ord.. 4. Group Action $\mathcal O_G(x)=Gx$ $G_x\leq G$ $Fix_G(X)=X^G=\{x\in X| Gx=x\}$ Group action의 예시: 1. G의 Left Coset에 Left Mult로 act. 2.Conjugate Action: $G$에도, $Sub(G)$에도 act한다. 이 때 $^gH=gHg^{-1}$같은 표현법을 사용한다. Orbit을 만드는 것은 Partition을 만드는 일이다. 또 Group의 성질까지 생각하면 다음 Theorem을 얻는다. Orbit-stabilizer Thm $$X=\amalg Gx \simeq \amalg G/G_x$$ $$|X|=\sum(G:G_x)$$ 특히 따름정리로는, $G$가 $G$에 conjugate로 act하는 상황에서 Class Formula .. 이전 1 2 3 4 5 6 다음